Nos Exercícios 1-22, encontre ∂ƒ/∂x e ∂ƒ/∂y

ƒ (x , y) = sum_(n = 0)^(oo) (x y)^n (|x y| < 1)

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora fazer umas derivadas parciais, mas antes, devemos nos atentar a um conceito dos somatórios, vamos descobrir a função convergente.

Como o módulo de xy vai ser menor que 1, então xy nunca vai ser um número negativo, podemos escrever esse intervalo,

0 <= x y < 1

Assim, podemos escrever o somatório como a seguinte função convergente

ƒ (x , y) = sum_(n = 0)^(oo) (x y)^n = (1)/(1 - x y)

Dessa forma, a função sempre vai estar entre 0 e 1.

Passo 2

Agora sim, primeiro vamos derivar em x,

(del f)/(del x) = (del)/(del x) ((1)/(1 - x y))

Vamos usar a regra da cadeia, u = 1 - x y ,

= (del)/(del u) ((1)/(u)) * (del)/(del x) (1 - x y)

= - (1)/(u^2) * - y

= (y)/((1 - x y)^2)

(del f)/(del x) = (y)/((1 - x y)^2)

Passo 3

Agora em y,

(del f)/(del y) = (del)/(del y) ((1)/(1 - x y))

Vamos usar a regra da cadeia, u = 1 - x y ,

= (del)/(del u) ((1)/(u)) * (del)/(del y) (1 - x y)

= - (1)/(u^2) * - x

= (x)/((1 - x y)^2)

(del f)/(del y) = (x)/((1 - x y)^2)

Bora pro próximo.

Resposta

(del f)/(del x) = (y)/((1 - x y)^2) e (del f)/(del y) = (x)/((1 - x y)^2) .

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