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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 1j

Determine as derivadas parciais.

z = (x^2 + y^2) ln (x^2 + y^2)

Passo 1

Bora lá! A gente vai calcular as derivadas parciais em x e y . Sabemos fazer isso, né? Se estivermos derivando em x , vamos considerar o y como constante, e vice versa! Então vamos lá, começando por x .

z = (x^2 + y^2) ln (x^2 + y^2)

(del z)/(del x) = (del (x^2 + y^2) ln (x^2 + y^2))/(del x)

Esse lado direito da equação tem uma regra do produto pra gente fazer!

(del z)/(del x) = ln (x^2 + y^2) (del (x^2 + y^2))/(del x) + (x^2 + y^2) (del ln (x^2 + y^2))/(del x)

A primeira derivada é moleza, polinomiozinho direto:

(del (x^2 + y^2))/(del x) = ( 2 x )

A segunda que pode ser um pouco mais complicada por causa do l n , mas é só lembrar que:

(ln (u))^' = (1)/(u) u^'

Então vai ser:

(del ln (x^2 + y^2))/(del x) = (1)/(x^2 + y^2) (del (x^2 + y^2))/(del x) = (2 x)/(x^2 + y^2)

Substituindo,

(del z)/(del x) = 2 x ln (x^2 + y^2) + (x^2 + y^2) (2 x)/(x^2 + y^2)

Arrumando a casa,

(del z)/(del x) = 2 x ln (x^2 + y^2) + 2 x

(del z)/(del x) = 2 x (ln (x^2 + y^2) + 1)

Passo 2

Agora vamos calcular a derivada parcial em relação a y :

z = (x^2 + y^2) ln (x^2 + y^2)

(del z)/(del y) = (del (x^2 + y^2) ln (x^2 + y^2))/(del y)

Esse lado direito da equação tem uma regra do produto pra gente fazer!

(del z)/(del y) = ln (x^2 + y^2) (del (x^2 + y^2))/(del y) + (x^2 + y^2) (del ln (x^2 + y^2))/(del y)

A primeira derivada é moleza, polinomiozinho direto:

(del (x^2 + y^2))/(del y) = ( 2 y )

A segunda vai ter a derivada do l n , que já vimos ali em cima.

Então vai ser:

(del ln (x^2 + y^2))/(del y) = (1)/(x^2 + y^2) (del (x^2 + y^2))/(del y) = (2 y)/(x^2 + y^2)

Substituindo,

(del z)/(del y) = 2 y ln (x^2 + y^2) + (x^2 + y^2) (2 y)/(x^2 + y^2)

Arrumando a casa,

(del z)/(del y) = 2 y ln (x^2 + y^2) + 2 y

(del z)/(del y) = 2 y (ln (x^2 + y^2) + 1)

Resposta

(del z)/(del x) = 2 x (ln (x^2 + y^2) + 1)

(del z)/(del y) = 2 y (ln (x^2 + y^2) + 1)

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