Determine as derivadas parciais.

z = (x^2 + y^2) \* ln(x^2 + y^2)

Passo 1

Bora lá! A gente vai calcular as derivadas parciais em x e y . Sabemos fazer isso, né? Se estivermos derivando em x , vamos considerar o y como constante, e vice versa! Então vamos lá, começando por x .

z = x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2

∂ z ∂ x = ∂ x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 ∂ x

Esse lado direito da equação tem uma regra do produto pra gente fazer!

∂ z ∂ x = ln ⁡ x 2 + y 2 ∂ x 2 + y 2 ∂ x + x 2 + y 2 ∂ ln ⁡ x 2 + y 2 ∂ x

A primeira derivada é moleza, polinomiozinho direto:

∂ x 2 + y 2 ∂ x = ( 2 x )

A segunda que pode ser um pouco mais complicada por causa do l n , mas é só lembrar que:

ln ⁡ u ' = 1 u u '

Então vai ser:

∂ ln ⁡ x 2 + y 2 ∂ x = 1 x 2 + y 2 ∂ x 2 + y 2 ∂ x = 2 x x 2 + y 2

Substituindo,

∂ z ∂ x = 2 x ln ⁡ x 2 + y 2 + x 2 + y 2 2 x x 2 + y 2

Arrumando a casa,

∂ z ∂ x = 2 x ln ⁡ x 2 + y 2 + 2 x

∂ z ∂ x = 2 x ln ⁡ x 2 + y 2 + 1

Passo 2

Agora vamos calcular a derivada parcial em relação a y :

z = x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2

∂ z ∂ y = ∂ x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 ∂ y

Esse lado direito da equação tem uma regra do produto pra gente fazer!

∂ z ∂ y = ln ⁡ x 2 + y 2 ∂ x 2 + y 2 ∂ y + x 2 + y 2 ∂ ln ⁡ x 2 + y 2 ∂ y

A primeira derivada é moleza, polinomiozinho direto:

∂ x 2 + y 2 ∂ y = ( 2 y )

A segunda vai ter a derivada do l n , que já vimos ali em cima.

Então vai ser:

∂ ln ⁡ x 2 + y 2 ∂ y = 1 x 2 + y 2 ∂ x 2 + y 2 ∂ y = 2 y x 2 + y 2

Substituindo,

∂ z ∂ y = 2 y ln ⁡ x 2 + y 2 + x 2 + y 2 2 y x 2 + y 2

Arrumando a casa,

∂ z ∂ y = 2 y ln ⁡ x 2 + y 2 + 2 y

∂ z ∂ y = 2 y ln ⁡ x 2 + y 2 + 1

Resposta

∂ z ∂ x = 2 x ln ⁡ x 2 + y 2 + 1

∂ z ∂ y = 2 y ln ⁡ x 2 + y 2 + 1

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