Seja f: A ⊂ R² → R , A aberto e suponha que ∂f/∂x (x, y) existe para todo (x, y) ∈ A. Sejam (x₀, y₀) e (x0 + h, y0) dois pontos de A . Prove que se o segmento de extremidades (x_0, y_0) e (x0 + h, y0) estiver contido em A. Então, existirá -x entre x₀ e x_0 + h , tal que

f(x0 + h, y) - f(x0, y0) = (∂f(x,y) / ∂x)

Passo 1

Desde que a derivada parcial com relação a x exista para todo x ∈ A , então existe em x 0 ,   y 0 .

Daí, se tomarmos o limite

l i m h → 0   ⁡   f x 0 + h ,   y - f x 0 , y 0   h  

Existe um x - , tal que

l i m h → 0   ⁡   f x 0 + h ,   y - f x 0 , y 0   h   = ∂ f x - ,   y ∂ x    

Se olharmos h como um cara fixo, já que ele está em A

  ⁡   f x 0 + h ,   y - f x 0 , y 0   h   = ∂ f x - ,   y ∂ x  

Daí,

f x 0 + h ,   y - f x 0 , y 0 =   ∂ f x - ,   y ∂ x   ⋅ h

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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