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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 34

Seja f : A ⊂ R 2 → R , A aberto e suponha que ∂ f ∂ x ( x , y ) existe para todo x , y ∈ A .   Sejam x 0 ,   y 0       e x 0 + h ,   y 0       dois pontos de A . Prove que se o segmento de extremidades x 0 ,   y 0   e x 0 + h ,   y 0   estiver contido em A. Então, existirá x - entre x 0 e x 0 + h , tal que

f x 0 + h ,   y - f x 0 , y 0 =   ∂ f x - ,   y ∂ x  

Passo 1

Desde que a derivada parcial com relação a x exista para todo x ∈ A , então existe em x 0 ,   y 0 .

Daí, se tomarmos o limite

l i m h → 0   ⁡   f x 0 + h ,   y - f x 0 , y 0   h  

Existe um x - , tal que

l i m h → 0   ⁡   f x 0 + h ,   y - f x 0 , y 0   h   = ∂ f x - ,   y ∂ x    

Se olharmos h como um cara fixo, já que ele está em A

  ⁡   f x 0 + h ,   y - f x 0 , y 0   h   = ∂ f x - ,   y ∂ x  

Daí,

f x 0 + h ,   y - f x 0 , y 0 =   ∂ f x - ,   y ∂ x   ⋅ h

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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