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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 30

Seja x 0 ,   y 0 um ponto do D f . Dizemos que x 0 ,   y 0 é um ponto de máximo local de f (respectivamente, de mínimo local) se existe uma bola aberta B de centro em ( x 0 , y 0 ) , tal que para que todo x , y ∈ B ∩ D f , f x , y ≤ f x 0 ,   y 0 ( respectivamente f x , y ≥ f x 0 ,   y 0 ). Prove que se x 0 ,   y 0 é um ponto crítico, então uma condição necessária para que x 0 ,   y 0 seja máximo local ou mínimo local é que x 0 ,   y 0 seja um ponto crítico de f , isto é,

∂ f ∂ x   x 0 , y 0 = 0 e ∂ f ∂ y x 0 , y 0 = 0

Passo 1

Considere γ i t = u + t e i ,   onde u = x 0 ,   y 0 , com   i ∈ 1,2 e e 1 = 1,0 ,   e 2 = 0,1 e t < r , onde r é o raio da bola centrada em x 0 ,   y 0 .

Perceba que ∂ f ∂ x i x , y = γ 1 ' t e que 0   é um ponto de máximo ou de mínimo para a função γ i , pois sendo u minimimo, para que u + t e i = u ⇒ t = 0 .

Perceba também que ∂ f ∂ x i x 0 , y 0 = γ 1 ' 0 . Como 0 é máximo ou mínimo, então,

∂ f ∂ x i x 0 , y 0 = γ 1 ' 0 = 0 ,   com   i ∈ 1,2 .

Ou seja,

∂ f ∂ x   x 0 , y 0 = 0

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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As alturas das ondas h em mar aberto dependem da velocidade v do vento e do período de tempo t em que o vento sopra nessa velocidade. Os valores da função h = f ( v , t ) são registrados em pés na tab
13. z = x 2 + y 2
8. f x , y = e x 2 y
18. z = e x 2 + y 2 - 4
21. z = x 2 + y 2 - 1