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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.5 - Ex. 30

Encontre os volumes das regiões nos Exercícios 23-36.

A região no primeiro octante delimitada pelos planos coordenados e a superfície z = 4 – x2 – y

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Fique atento: A interpretação deste problema pode ser expressa através da seguinte integral tripla:

∫ 0 2   ∫ 0 4 - x 2   ∫ 0 4 - x 2 - y   d z d y d x

Sendo assim, resolvendo a integral é possivel determinar o volume do espaço desejado.

Passo 2

Primeiro passo, integrando em z:

∫ 0 2   ∫ 0 4 - x 2   4 - x 2 - y d y d x

Passo 3

Agora vamos integrando em y :

  ∫ 0 2     4 y - x 2 y - y 2 2 0 4 - x 2 d x 1 2 ∫ 0 2     4 - x 2 2 d x   ∫ 0 2     8 - 4 x 2 + x 4 2 d x

Passo 4

E finalmente integrando em x , teremos:

8 x - 4 x 3 3 + x 5 10 0 2 = 128 15

Resposta

Como resultado você verá que o volume é igual a 128 / 15 .

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.) j )x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4 - 3 x 2 - 3 y 2 .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)l) ( x - a ) 2 + y 2 ≤ a 2 e x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ⋅ a 2 , z ≥ 0( a0 ) .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)f) x 2 + 4 ⋅ y 2 + 9 ⋅ z 2 ≤ 1 .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)b) 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x 2 e 0 ≤ z ≤ x + y 2
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)i) x 2 + y 2 ≤ 1 e x 2 + z 2 ≤ 1 .