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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 33

Determine o volume do sólido dado. Uma das cunhas obtidas pelo corte do cilindro x 2 + 9 y 2 = a 2 pelos planos z = 0 e z = m x .

Passo 1

E aí galerinha, tudo bom com vocês? Vamos começar!!!

Temos que achar o volume do seguinte sólido. Ele é o corte do cilindro:

x 2 + 9 y 2 = a 2

Pelos seguintes planos:

z = 0

z = m x

Vamos lembrar como é a integral de volume:

V = ∭ E d V

Onde, d V = d x d y d z e E é região do sólido.

Nosso objetivo é de terminar a região de integração. Sabemos que no eixo z ocorre a variação:

0 ≤ z ≤ m x

Para achar a variação em x e y devemos analisar a equação do cilindro. Repare que se isolarmos o x , vamos ter a variação no eixo x :

x 2 = a 2 - 9 y 2

x = a 2 - 9 y 2

Logo,

0 ≤ x ≤ a 2 - 9 y 2

Para determinar os valores de y , devemos assumir x = 0 na expressão, assim temos:

0 2 + 9 y 2 = a 2

y = a 2 9

Logo, 0 ≤ y ≤ a 3

Agora é so montar nossa integral, beleza!?

Lembre-se que começamos integrando de dentro para fora, e sempre começamos pelos termos que tem função nos intervalos de integração.

Pausa para um ponto muito importante. Observe que temos o mesmo volume para   m < 0  e  m > 0 , sendo assim, vamos utilizar  m > 0 . Sendo assim devemos multiplicar o volume por 2.

Vamos nessa então!!!

Passo 2

Vamos começar montando nossa integral!

Já sabemos que o volume é dado por:

V = ∭ E d V

E sabemos que nossa região E é:

0 ≤ x ≤ a 2 - 9 y 2

0 ≤ y ≤ a 3

0 ≤ z ≤ m x

Montamos essa estratégia no passo 1 pessoal.

Agora é montar nossa integral. Vamos ficar com:

V = 2 ∫ 0 a 3 ∫ 0 a 2 - 9 y 2 ∫ 0 m x d z   d x   d y

Nossa próxima etapa é resolver essa integral e lembre-se que começamos integrando de dentro para fora.

Passo 3

Vamos começar integrando em d z . Integrando temos que:

V = 2 ∫ - a 3 a 3 ∫ - a 2 - 9 y 2 a 2 - 9 y 2 ( z ) 0 m x d x d y

Aplicando os limites de integração temos que:

V = 2 ∫ 0 a 3 ∫ 0 a 2 - 9 y 2 m x d x d y

Agora vamos integrar em d x , assim temos que:

V = 2 ∫ 0 a 3 m 2 x 2 0 a 2 - 9 y 2 d y

Aplicando os limites de integração temos e simplificando temos:

∫ 0 a 3     m a 2 - 9 y 2     d y

Por fim, integrando em d y temos:

m a 2 y - 9 m y 3 3 0 a 3

Aplicando os limites de integração, temos:

m a 3 3 - a 3 9

Simplificando, nossa resposta é:

2 9 m a 3

Resposta

2 9 m a 3

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