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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 50

Utilize a transformação x = u 2 , y = v 2 , z = w 2 para determinar o volume da região limitada pela superfície x + y + z = 1 e pelos planos coordenados.

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bom com vocês?

Queremos calcular o volume de um determinado sólido. Dessa forma, já sabemos que devemos utilizar uma integral tripla:

V = ∭ R d V

onde R é a região de interesse, que é dado pela superfície x + y + z = 1 e pelos planos x = 0 , y = 0 e z = 0 (os planos coordenados). Porém, veja que essa região é bem chata de se trabalhar, de modo que uma substituição deve nos ajudar.

Esse exercício foi “bonzinho” e já nos deu qual substituição devemos usar:

x = u 2 y = v 2 z = w 2

Lembrando que, para fazer uma mudança de variável em uma integral tripla, devemos calcular o jacobiano. Apenas como um lembrete, se temos:

x = f u , v , w y = g u , v , w z = h u , v , w

Então, o jacobiano é dado por:

∂ x , y , z ∂ u , v , w = ∂ f ∂ u ∂ f ∂ v ∂ f ∂ w ∂ g ∂ u ∂ g ∂ v ∂ g ∂ w ∂ h ∂ u ∂ h ∂ v ∂ h ∂ w

Dessa forma, nossa integral ficará:

∭ R d V = ∭ R * ∂ x , y , z ∂ u , v , w d V

Onde R * é a nova região (que também devemos determinar).

Vamos fazer nosso cálculo!

Passo 2

Vamos aplicar as ideias explicadas no passo 1. Começando pelo jacobiano:

∂ x , y , z ∂ u , v , w = 2 u 0 0 0 2 v 0 0 0 2 w

Como temos uma matriz triangular, o determinante será o produto dos elementos da diagonal principal. Dessa forma:

∂ x , y , z ∂ u , v , w = 8 u v w

Agora, vamos determinar nossa nova região. A antiga era:

R = x , y , z : x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   z ≥ 0   e   x + y + z ≤ 1

Agora, nossa nova região será:

R * = u , v , w : u ≥ 0 ,   v ≥ 0 ,   w ≥ 0   e   u + v + w ≤ 1

Sendo assim, nossa integral de volume será dada por

V = ∫ ∫ ∫ E   d V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u ∫ 0 1 - u - v 8 u v w   d w   d v   d u

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u 4 u v ⋅ 1 - u - v 2   d v   d u

Passo 3

Bora resolver nossa integral:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - u ∫ 0 1 - u - v 8 u v w   d w   d v   d u

Integrando em w e aplicando os limites de integração:

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u 4 u v ⋅ 1 - u - v 2   d v   d u

Fazendo:

1 - u - v 2 = 1 - u - v 2 = 1 - u 2 - 2 1 - u v + v 2 Segue:

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u 4 u 1 - u 2 ⋅ v - 8 u 1 - u ⋅ v 2 + 4 u v 3   d v   d u

Aqui, vamos integrar tudo em relação a v . Observe:

∫ 0 1 - u 4 u 1 - u 2 ⋅ v - 8 u 1 - u ⋅ v 2 + 4 u v 3 d v

= 4 u 1 - u 2 ⋅ v 2 2 - 8 u 1 - u ⋅ v 3 3 + 4 u ⋅ v 4 4 0 1 - u

Desenvolvendo, temos:

= 2 u 1 - u 4 - 8 3 u 1 - u 4 + u 1 - u 4

Simplificando:

∫ 0 1 - u 4 u 1 - u 2 ⋅ v - 8 u 1 - u ⋅ v 2 + 4 u v 3 d v = 1 3 u 1 - u 4

Por fim, devemos calcular:

V = ∫ 0 1 1 3 u 1 - u 4   d u

Podemos lembrar do cálculo 1 e fazer a mudança t = 1 - u . Assim,

V = ∫ 1 0 1 3 1 - t t 4   - d t = ∫ 0 1 t 4 - t 5   d t

V = t 5 5 - t 6 6 0 1 = 1 30

Resposta

V = 1 30

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