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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 30

Determine o volume do sólido dado. Abaixo da superfície z = x 2 y e acima do triângulo no plano x y com vértices 1,0 ,   2,1   e   4,0 .

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular o volume do sólido descrito no problema, o que nada mais é do que calcular a integral acima de acordo com a região dada. Primeiramente, vamos observar como é nossa região de integração que é dada por

Agora, escreveremos nossa integral de forma iterada, para facilitar nossa resolução, de modo que obteremos

V = ∫ 0 1 ∫ y + 1 4 - 2 y ∫ 0 x 2 y d z   d x   d y

Passo 2

Agora que temos nossa integral de forma iterada, fica simples de resolver nosso problema pois basta vir resolvendo a integral da mais interna para a mais externa, sem nos esquecer, é claro, que ao integrarmos em uma variável devemos considerar a outra como constante. Sendo assim, resolvendo a integral mais interna temos

∫ 0 x 2 y 1   d z = z 1 x 2 y = x 2 y

Dessa forma, ficamos com a seguinte integral dupla a ser resolvida

∫ 0 1 ∫ y + 1 4 - 2 y x 2 y         d x   d y

Continuando a resolução novamente com a integral mais interna vamos ter

∫ y + 1 4 - 2 y x 2 y   d x = x 3 y 3 y + 1 4 - 2 y = y 3 ⋅ 4 - 2 y 3 - y + 1 3

Por fim, ficamos com a seguinte integral simples

∫ 0 1 y 3 ⋅ 4 - 2 y 3 - y + 1 3   d y =   ∫ 0 1 3 ⋅ - y 4 + 5 y 3 - 11 y 2 + 7 y   d y

V = - y 5 5 + 5 y 4 4 - 11 y 3 3 + 7 y 2 2 0 1   = 3 ⋅ - 1 5 + 5 4 - 11 3 + 7 2 = 53 20

Pronto, tá resolvido nosso exercício.

Resposta

53 20

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∭_E (z)/(x^2 + z^2) d V , onde E = { ( x , y , z ) | 1 = y = 4 , y = z = 4 , 0 = x = z }
Calcule a integral iterada.int_1^2 int_0^(2 z) int_0^(ln x) x e^(- y) d y d x d z
Calcule a integral iterada.int_0^2 int_0^(z^2) int_0^(y - z) (2 x - y) d x d y d z
Calcule a integral iterada.int_0^1 int_0^1 int_0^(sqrt(1 - z^2)) (z)/(y + 1) d x d z d y
Calcule a integral tripla.∭_E^() e^(z // y) d V Onde,E = {(x , y , z) | 0 = y = 1 , y = x = 1,0 = z = x y}