Determine o volume do sólido dado. Abaixo da superfície z = x^2 * y e acima do triângulo no plano x * y com vértices (1,0), (2,1) e (4,0) .

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular o volume do sólido descrito no problema, o que nada mais é do que calcular a integral acima de acordo com a região dada. Primeiramente, vamos observar como é nossa região de integração que é dada por

Agora, escreveremos nossa integral de forma iterada, para facilitar nossa resolução, de modo que obteremos

V = ∫ 0 1 ∫ y + 1 4 - 2 y ∫ 0 x 2 y d z   d x   d y

Passo 2

Agora que temos nossa integral de forma iterada, fica simples de resolver nosso problema pois basta vir resolvendo a integral da mais interna para a mais externa, sem nos esquecer, é claro, que ao integrarmos em uma variável devemos considerar a outra como constante. Sendo assim, resolvendo a integral mais interna temos

∫ 0 x 2 y 1   d z = z 1 x 2 y = x 2 y

Dessa forma, ficamos com a seguinte integral dupla a ser resolvida

∫ 0 1 ∫ y + 1 4 - 2 y x 2 y         d x   d y

Continuando a resolução novamente com a integral mais interna vamos ter

∫ y + 1 4 - 2 y x 2 y   d x = x 3 y 3 y + 1 4 - 2 y = y 3 ⋅ 4 - 2 y 3 - y + 1 3

Por fim, ficamos com a seguinte integral simples

∫ 0 1 y 3 ⋅ 4 - 2 y 3 - y + 1 3   d y =   ∫ 0 1 3 ⋅ - y 4 + 5 y 3 - 11 y 2 + 7 y   d y

V = - y 5 5 + 5 y 4 4 - 11 y 3 3 + 7 y 2 2 0 1   = 3 ⋅ - 1 5 + 5 4 - 11 3 + 7 2 = 53 20

Pronto, tá resolvido nosso exercício.

Resposta

53 20

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