Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.5 - Ex. 47
Minimizando uma integral tripla Que domínio no espaço minimiza o valor da integral
Justifique sua resposta.
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Considere a integral:
Qual o domínio D que tornará essa integral mínima? Você sabe como responder?
Passo 2
domínio irá corresponder a todos os pontos onde o integrando é negativo, ou seja:
Ou:
Resposta
Sendo assim, o domínio que torna a integral mínima corresponde a região interior a um elipsoide com centro na origem.
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Calcule a massa do cilindro x 2 + y 2 ≤ 4 e 0 ≤ z ≤ 2 , sabendo que a densidade no ponto x , y , z é o dobro da distância do ponto ao plano z = 0 .
8. Seja B ⊂ ℝ3 e sejam f e g duas funções contínuas em B. Suponha que,para toda bola B1 ⊂ B, ∫ ∫ ∫ B 1 f x , y , z d x d y d z =∫ ∫ ∫ B 1 g x , y , z d x d y d z Prove que f (x, y, z) = g (x, y, z) em
11. Calcule ∫ ∫ ∫ B 1 x 2 d x d y d z onde B é o conjunto de todos (x, y, z) tais que 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e z = 2. Compare com o Exercício 10 e explique.
9. Seja B ⊂ ℝ3 uma bola fechada e seja f: B → ℝ uma função contínua,com f (x, y, z) 0 em B. Prove que ∫ ∫ ∫ B 1 f x , y , z d x d y d z0
10. Seja B ⊂ ℝ3 um conjunto limitado, com fronteira de conteúdo nulo, eseja f: B → ℝ uma função contínua tal que f (x, y, z) ≥ 0 em B. Suponhaque ∫ ∫ ∫ B 1 f x , y , z d x d y d z = 0 Prove que f (x,