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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.3 - Ex. 15

As integrais e somas de integrais nos Exercícios 13-18 fornecem as áreas das regiões no plano xy. Esboce cada região, marque cada curva limitante com sua equação e forneça as coordenadas dos pontos onde as curvas apresentam interseção. Em seguida, encontre a área da região.

∫ 0 π 4 ∫ s e n x cos ⁡ x d y   d x

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Nos exercícios anteriores tínhamos definido a integral pela função, agora de maneira contraria vamos encontrar a função pela integral. Sendo assim, nós temos que a função que limita os pontos é dado por y, veja que y = s e n x e vai até a função que a limita nesse intervalo, ou seja y = cos ⁡ x . E dado intervalo de 0 até π 4 ,   temos de s e n 0 = 0 até cos ⁡ π 4 = 2 2 . Se fizermos um esboço dessas funções temos:

Onde temos, como mostrado na integral x indo de 0 a 2 2 .

Passo 2

Para acharmos os pontos de interseção, basta igualarmos as equações. Assim:

cos ⁡ x = s e n ( x )

Sabendo que cos(x) e sen(x) são funções periódicas e iguais a menos de uma fase, são iguais quando x = n 2 2   com n ∈ Z

Passo 3

∫ 0 π 4 ∫ s e n x cos ⁡ x d y   d x

∫ 0 π 4 c o s ⁡ ( x     -     s e n ( x ) )   d x

s e n x + cos ⁡ x 0 π 4

2 2 ∓ 2 2 - 0 + 1

2 - 1  

Resposta

O ponto de interseção é:

x = n 2 2   com n ∈ Z

Valor da integral:

2 - 1  

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