Encontre o valor médio de ƒ(x, y) = 1 / (xy) sobre o quadrado ln(2) ≤ x ≤ 2 * ln(2), ln(2) ≤ y ≤ 2 * ln(2).

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Para o valor médio temos que:

(1)/(b - a) int_a^b (1)/(d - c) int_c^d f (x , y) d y d x

Assim:

(1)/(( 2 ln (2) - l n ( 2 ) )) int_(l n ( 2 ))^(2 ln (2)) (1)/(( 2 ln (2) - l n ( 2 ) )) int_(ln (2))^(2 ln (2)) (1)/(x y) d y d x

(1)/(ln (2)^2) int_(ln (2))^(2 ln (2)) int_(ln (2))^(ln (2)) (1)/(x y) d y d x

Passo 2

(1)/(ln (2)^2) int_(ln (2))^(2 ln (2)) ((1)/(x) [ln (y)]_(ln (2))^(2 ln (2))) d x

(1)/(ln (2)^2) int_(ln (2))^(2 ln (2)) (1)/(x) (2 ln (ln (2)) - ln (ln (2))) d x

(1)/(ln (2)^2) int_(ln (2))^(2 ln (2)) (1)/(x) ln (2) d x

,

Passo 3

(1)/(ln (2)) int_(ln (2))^(2 ln (2)) (1)/(x) d x

(1)/(ln (2)) ([ln (x)]_(ln (2))^(2 ln (2)))

(1)/(ln (2)) (ln (ln (2)) - ln (2 ln (2)))

(1)/(ln (2)) (ln (2))

1

Resposta

1

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