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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.3 - Ex. 22

Encontre o valor médio de ƒ (x , y) = (1)/(x y) sobre o quadrado l n 2 <= x <= 2 l n 2 , l n 2 <= y <= 2 l n 2 .

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Para o valor médio temos que:

(1)/(b - a) int_a^b (1)/(d - c) int_c^d f (x , y) d y d x

Assim:

(1)/(( 2 ln (2) - l n ( 2 ) )) int_(l n ( 2 ))^(2 ln (2)) (1)/(( 2 ln (2) - l n ( 2 ) )) int_(ln (2))^(2 ln (2)) (1)/(x y) d y d x

(1)/(ln (2)^2) int_(ln (2))^(2 ln (2)) int_(ln (2))^(ln (2)) (1)/(x y) d y d x

Passo 2

(1)/(ln (2)^2) int_(ln (2))^(2 ln (2)) ((1)/(x) [ln (y)]_(ln (2))^(2 ln (2))) d x

(1)/(ln (2)^2) int_(ln (2))^(2 ln (2)) (1)/(x) (2 ln (ln (2)) - ln (ln (2))) d x

(1)/(ln (2)^2) int_(ln (2))^(2 ln (2)) (1)/(x) ln (2) d x

,

Passo 3

(1)/(ln (2)) int_(ln (2))^(2 ln (2)) (1)/(x) d x

(1)/(ln (2)) ([ln (x)]_(ln (2))^(2 ln (2)))

(1)/(ln (2)) (ln (ln (2)) - ln (2 ln (2)))

(1)/(ln (2)) (ln (2))

1

Resposta

1

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