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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 57

Se f é homogênea de grau n , mostre que

f x t x , t y = t n - 1 f x ( x , y )

Passo 1

É o seguinte, pessoal... A questão nos dá uma função f e pede para mostrarmos que se ela for umia função homogênea de grau n , ela respeitará a equação

f x t x , t y = t n - 1 f x ( x , y )

Temos que ter em mente que uma função homogênea satisfaz a seguinte igualdade

f t x , t y = t n f ( x , y )

Nós partiremos disso para mostrar que f satisfaz a equação dada no enunciado.

Vemos que, em ambos os lados da primeira equação, constam as derivadas de f com respeito a x . Vamos partir daí então!

Passo 2

Vamos derivar parcialmente os dois lados, em relação a x , olhando primeiramente para o lado direito

∂ ∂ x t n f x , y

Como t n não varia de acordo com o valor de x , podemos tirar da derivada. Assim, temos

∂ ∂ x t n f x , y = t n ∂ ∂ x f x , y = t n f x ( x , y )

Passo 3

Olhando agora para o outro lado da igualdade

∂ ∂ x f t x , t y

Vamos usar a substituição u = t x e v = t y , de modo que

∂ ∂ x f t x , t y = ∂ ∂ x f u , v

Aqui usamos a regra da cadeia:

∂ ∂ x f u , v = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

Como v = t y não depende de x , ∂ v ∂ x = 0 , logo

∂ ∂ x f u , v = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x

Lembrando que u = t x , temos

∂ ∂ x f u , v = ∂ f ∂ u t

∂ ∂ x f u , v = t ∂ f ∂ ( t x )

Por fim,

∂ ∂ x f t x , t y = t f x ( t x , t y )

Passo 4

Voltando à definição da função homogênea de grau n :

f t x , t y = t n f ( x , y )

∂ ∂ x f t x , t y = ∂ ∂ x t n f x , y

t f x ( t x , t y ) = t n f x ( x , y )

Dividindo por t

f x ( t x , t y ) = t n - 1 f x ( x , y )

Como pedido no enunciado.

Resposta

Demonstração

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