Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 57
Se é homogênea de grau , mostre que
Passo 1
É o seguinte, pessoal... A questão nos dá uma função e pede para mostrarmos que se ela for umia função homogênea de grau , ela respeitará a equação
Temos que ter em mente que uma função homogênea satisfaz a seguinte igualdade
Nós partiremos disso para mostrar que satisfaz a equação dada no enunciado.
Vemos que, em ambos os lados da primeira equação, constam as derivadas de com respeito a Vamos partir daí então!
Passo 2
Vamos derivar parcialmente os dois lados, em relação a , olhando primeiramente para o lado direito
Como não varia de acordo com o valor de , podemos tirar da derivada. Assim, temos
Passo 3
Olhando agora para o outro lado da igualdade
Vamos usar a substituição e , de modo que
Aqui usamos a regra da cadeia:
Como não depende de , , logo
Lembrando que , temos
Por fim,
Passo 4
Voltando à definição da função homogênea de grau :
Dividindo por
Como pedido no enunciado.
Resposta
Demonstração