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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.3 - Ex. 20

Nos exercícios 15 a 20, parametrizar as seguintes superfícies, dadas implicitamente:

x ²   +   y ²   +   z ²   -   2 y   =   0  

Passo 1

x 2 + y 2 + z 2 - 2 y = 0

Complementando os quadrados

x 2 + y 2 - 2 y + 1 + z 2 = 1

x 2 + y - 1 2 + z 2 = 1 2

Esfera, de raio a = 1 e centro r c = ( 0,1 , 0 )

Passo 2

Pela seção 10.2.1 a equação paramétrica da esfera centrada na origem de raio a é:

r → ( u , v ) e s f e r a   n a o r i g e m = a cos ⁡ v cos ⁡ u i → + a cos ⁡ v sen ⁡ u j → + a sen ⁡ u k →

0 ≤ u ≤ 2 π

- π 2 ≤ v ≤ π 2

Então, para uma esfera centrada em qualquer lugar, basta somar a equação anterior a um vetor que indique o centro da esfera:

r → ( u , v ) e s f e r a = r → e s f e r a   n a o r i g e m + r c

Passo 3

Aplicando a lógica do passo anterior:

r → ( u , v ) e s f e r a   n a o r i g e m = cos ⁡ v cos ⁡ u i → + cos ⁡ v sen ⁡ u j → + sen ⁡ u k →

O centro é:

r c = j →

Então a equação final é:

r → e s f e r a = r → e s f e r a   n a o r i g e m + r c

r → e s f e r a = cos ⁡ v cos ⁡ u i → + ( cos ⁡ v sen ⁡ u + 1 ) j → + sen ⁡ u k →

Dessa forma:

x = cos ⁡ v cos ⁡ u

y = cos ⁡ v sen ⁡ u + 1

z = sen ⁡ u

Passo 4

Como não há restrições sobre os limites, podemos dizer

0 ≤ u ≤ 2 π

- π 2 ≤ v ≤ π 2

Resposta

x = cos ⁡ v cos ⁡ u

y = cos ⁡ v sen ⁡ u + 1

z = sen ⁡ u

0 ≤ u ≤ 2 π

- π 2 ≤ v ≤ π 2

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