Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.9 - Ex. 12b
Uma partícula se move ao longo de uma curva plana com velocidade escalar constante . No instante ela está na origem e nunca se move à esquerda do eixo . Em cada instante a curvatura da curva é . Se denota o ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo positivo dos em cada instante , determine:
explicitamente como função de .
O vetor velocidade .
Passo 1
Agora, queremos determinar o vetor velocidade, mas como fazer isso sem uma equação do vetor posição? Bem, vamos usar as informações que temos pra ajudar nessa resolução.
Usando o valor da velocidade escalar e lembrando que ela é dada pelo módulo do vetor velocidade, temos:
Podemos reescrever como:
Por conta desse resultado, temos que achar funções de cuja soma do quadrado das derivadas resulte nessa constante.
Passo 2
Visto que o vetor velocidade varia com um ângulo (que vem da variação da curvatura dada por ), vamos supor que os vetores dependem das funções trigonométricas seno e cosseno. Além disso, com o valor:
Podemos dizer que a coordenada do vetor velocidade tem a função seno, pois . Da mesma forma, a coordenada tem a função cosseno e é dada por:
Como em , então:
Logo:
Passo 3
Portanto, concluímos que o vetor velocidade será dado por:
E substituindo os valores que temos: