Uma partícula se move ao longo de uma curva plana com velocidade escalar constante 5 . No instante t = 0 ela está na origem V 0 = 0 ,5 e nunca se move à esquerda do eixo y . Em cada instante t a curvatura da curva é k t = 2 t . Se α t denota o ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo positivo dos x em cada instante t , determine: aα t explicitamente como função de t . b O vetor velocidade V t .

V t = 5 s e n 5 t 2 ,5 cos ⁡ 5 t 2

Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.9 - Ex. 12b

Uma partícula se move ao longo de uma curva plana com velocidade escalar constante . No instante ela está na origem e nunca se move à esquerda do eixo . Em cada instante a curvatura da curva é . Se denota o ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo positivo dos em cada instante , determine:

explicitamente como função de .

O vetor velocidade .

Passo 1

Agora, queremos determinar o vetor velocidade, mas como fazer isso sem uma equação do vetor posição? Bem, vamos usar as informações que temos pra ajudar nessa resolução.

Usando o valor da velocidade escalar e lembrando que ela é dada pelo módulo do vetor velocidade, temos:

Podemos reescrever como:

Por conta desse resultado, temos que achar funções de cuja soma do quadrado das derivadas resulte nessa constante.

Passo 2

Visto que o vetor velocidade varia com um ângulo (que vem da variação da curvatura dada por ), vamos supor que os vetores dependem das funções trigonométricas seno e cosseno. Além disso, com o valor:

Podemos dizer que a coordenada do vetor velocidade tem a função seno, pois . Da mesma forma, a coordenada tem a função cosseno e é dada por:

Como em , então:

Logo:

Passo 3

Portanto, concluímos que o vetor velocidade será dado por:

E substituindo os valores que temos:

Resposta

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