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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 57

Nos Exercícios 57-60, utilize a definição limite de derivada parcial para calcular as derivadas parciais das funções nos pontos especificados

Passo 1

Nesta tarefa, somos solicitados a encontrar o valor das derivadas parciais em relação a x e y no ponto dado usando a definição de derivada parcial. Lembre-se que a derivada parcial em relação a x no ponto dado x 0 , y 0 (se existir) é definido como:

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = l i m h → 0   f x 0 + h , y 0 - f x 0 , y 0 h

∂ f ∂ x ( 1,2 ) = l i m h → 0   f ( 1 + h , 2 ) - f ( 1,2 ) h = l i m h → 0   - 6 h 2 - 13 h - 4 - ( - 4 ) h = l i m h → 0   - 6 h 2 - 13 h h = l i m h → 0   ( - 6 h - 13 ) = - 13

Passo 2

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = l i m h → 0   f x 0 + h , y 0 - f x 0 , y 0 h f ( 1 + h , 2 ) = 1 - ( 1 + h ) + 2 - 3 ( 1 + h ) 2 ( 2 ) = 1 - 1 - h + 2 - 6 1 + 2 h + h 2 = - h + 2 - 6 - 12 h - 6 h 2 = - 6 h 2 - 13 h - 4 f ( 1,2 ) = 1 - 1 + 2 - 3 ( 1 ) 2 ( 2 ) = - 4

Passo 3

∂ f ∂ y 1,2 = l i m h → 0   f 1,2 + h - f 1,2 h = l i m h → 0   - 4 - 2 h - - 4 h = l i m h → 0   - 2 h h = l i m h → 0   - 2 = - 2

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = l i m h → 0   f x 0 , y 0 + h - f x 0 , y 0 h f ( 1,2 + h ) = 1 - 1 + ( 2 + h ) - 3 ( 1 ) 2 ( 2 + h ) = 2 + h - 6 - 3 h = - 4 - 2 h

Resposta

f x = - 13

f y = - 2

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