Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

f(x, y) = x / (x + y)^2

Passo 1

A questão quer que encontremos as derivadas parciais de primeira ordem da função dada.

Neste caso, temos:

f x , y = x x + y 2

E para encontrarmos as derivadas parciais f x e f y devemos derivar em relação a variável que estamos trabalhando no momento, e devemos considerar todas as outras variáveis como constantes.

Aqui a gente percebe que teremos que utilizar a regra do quociente:

f g ' = f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

Passo 2

Derivando com relação a x :

f x , y = x x + y 2

Utilizando a regra do quociente:

f g ' = f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

Veja que mesmo utilizando a regra do quociente, a gente continua derivando no numerador em relação a variável que estamos trabalhando:

∂ f ∂ x = 1 ⋅ x + y 2 - x ⋅ 2 ( x + y ) x + y 4

Assim:

∂ f ∂ x = x + y - 2 x x + y 3

Logo:

∂ f ∂ x = y - x x + y 3

Passo 3

Analogamente, derivando com relação a y :

f x , y = x x + y 2

Utilizando a regra do quociente:

f g ' = f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

∂ f ∂ y = 0 ⋅ x + y 2 - x ⋅ 2 ( x + y ) x + y 4

Assim,

∂ f ∂ y = - 2 x x + y 3

Resposta

∂ f ∂ x = y - x x + y 3

∂ f ∂ y = - 2 x x + y 3

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