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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 25

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

g u ,   v = u 2 v - v 3 5

Passo 1

A questão quer que encontremos as derivadas parciais de primeira ordem da função dada.

Neste caso, temos:

g u ,   v = u 2 v - v 3 5

E para encontrarmos as derivadas parciais f u e f v devemos derivar em relação a variável que estamos trabalhando no momento, e devemos considerar todas as outras variáveis como constantes.

Aqui a gente tem uma composição de funções:

g h = h 5

E

h u , v = u 2 v - v 3

nesses casos deveremos utilizar a regra da cadeia para derivação:

f g x = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 2

Derivando com relação a u :

g u ,   v = u 2 v - v 3 5

Aplicando então a regra da cadeia:

f g x = f ' g x ⋅ g ' x

∂ g ∂ u = 5   u 2 v - v 3 4 ⋅ ∂ ∂ u ( u 2 v - v 3 )

Assim,

∂ g ∂ u = 10 u v   u 2 v - v 3 4

Derivando com relação a v :

g u ,   v = u 2 v - v 3 5

Aplicando então a regra da cadeia:

f g x = f ' g x ⋅ g ' x

∂ g ∂ v = 5   u 2 v - v 3 4 ⋅ ∂ ∂ v ( u 2 v - v 3 )

Logo,

∂ g ∂ v = 5   u 2 v - v 3 4   ( u 2 - 3 v 2 )

Resposta

∂ g ∂ u = 10 u v   u 2 v - v 3 4

∂ g ∂ v = 5   u 2 v - v 3 4   ( u 2 - 3 v 2 )

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