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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 40

Mínima distância à origem Encontre o ponto mais próximo à origem na curva de interseção do plano 2y + 4z = 5 e o

cone z2 = 4x2 + 4y2

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, encontraremos o ponto mais próximo da origem sobre a curva de interseção do plano 2 y + 4 z = 5 e o cone 4 x 2 + 4 y 2 = z 2 . Acompanhe a resolução!

Passo 2

Seja a função f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 o quadrado da distância da origem. Queremos minimizar a função f ( x , y , z ) sujeita a restrições. Começaremos reescrevendo as restrições então da seguinte maneira, observe:

g 1 ( x , y , z ) = 2 y + 4 z - 5 = 0 g 2 ( x , y , z ) = 4 x 2 + 4 y 2 - z 2 = 0

Passo 3

Calcularemos agora os gradientes das funções:

∇ f = 2 x i + 2 y j + 2 z k ∇ g 1 = 2 j + 4 k ∇ g 2 = 8 x i + 8 y j - 2 z k

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange temos:

∇ f = λ ∇ g 1 + μ ∇ g 2 2 x i + 2 y j + 2 z k = λ ( 2 j + 4 k ) + μ ( 8 x i + 8 y j - 2 z k )

Passo 4

Separando as componentes:

2 x = 8 x u 2 y = 2 λ + 8 y μ . 2 z = 4 λ - 2 z μ

Passo 5

Observamos na primeira equação que x = 0 ou μ = 1 4 .Caso 1: se x = 0 , então:

4 ( 0 ) 2 + 4 y 2 - z 2 = 0 z = ± 2 y

Passo 6

Voltando à restrição de 2 y + 4 z = 5 :

2 y + 4 ( 2 y ) - 5 = 0 y = 1 2

Ou:

2 y + 4 ( - 2 y ) - 5 = 0 y = - 5 6

Logo, os possíveis pontos podem ser 0 , 1 2 , 1 , 0 , - 5 6 , 5 3 .

Passo 7

Caso 2: Se μ = 1 4 , então:

2 y = 2 λ + 8 y μ y = λ + y

Levando a λ = 0 . Substituindo em 2 z = 4 λ - 2 z μ :

2 z = 4 ( 0 ) - 2 z 1 4

Passo 8

Agora, levando a z = 0 . Usando na restrição 2 y + 4 z = 5 o valor encontrado, teremos:

2 y + 4 ( 0 ) = 5 y = 5 2 .

E , usando os valores em 4 x 2 + 4 y 2 = z 2 , chegamos a: ( 0 ) 2 = 4 x 2 + 4 5 2 2 , veja que não possui solução.

Passo 9

Aqui, calculando os valores nos pontos encontrados, obteremos:

f 0 , 1 2 , 1 = 5 4 f 0 , - 5 6 , 5 3 = 25 1 36 + 1 9 = 125 36 .

Portanto, 0 , 1 2 , 1 é o ponto mais próximo da origem.

Resposta

Resposta nos passos.

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