Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Questões para guiar sua revisão - Ex. 16

O que é o teorema de Stokes? Como se pode interpretá-lo?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Passo 2

A definição do teorema de Stokes é:Seja S uma função suave definida por partes de uma superfície, tendo uma curva que delimita também suave por partes C. Seja um vetor de campo cujas componentes possuem primeiras derivadas parciais contínuas em uma região aberta contendo . Então, a circulação em na direção anti-horária em relação ao vetor unitário normal é igual à integral de em S. Ou seja:

Passo 3

Observe que o teorema de Stokes generaliza o teorema de Green para três dimensões, assim, a ondulação-circulação passa a ser definida tri-dimensionalmente. Veja o exemplo 6 , da seção 16.7, para uma aplicação bem detalhada desse teorema. Bons estudos!

Resposta

Resposta nos passos.

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Calcule o rotacional.vec F (x , y , z) = y z vec i + x z vec j + x y vec k

Sejam u → , v → : Ω ⊂ R 3 → R 3 dois campos vetoriais e φ : Ω → R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre φ ,u → ,v → e prove. (suponha u → = P i → + Q j → + R k →ev → = P 1 i →

1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. a )F → x , y , z = y k → ,σ u , v = u , v , u 2 + v 2 , c o mu 2 + v 2 ≤ 1 , sendo n →

1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. e )F → x , y , z = x j → ,σ é a superfície x , y , z ∈ R 30 ≤ z ≤ 1 ,x 2 + y 2 = 1 ,x ≥