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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 2

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ - 2 n n 2

Passo 1

Note que podemos usar o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n      

Temos que:

a n = - 2 n n 2

E para sabermos a n + 1 basta somarmos um a todos os " n " de a n :

a n + 1 = - 2 n + 1 ( n + 1 ) 2

Passo 2

Agora, vamos colocar nossas informações na formulinha do teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 2 n + 1 ( n + 1 ) 2 - 2 n n 2

Note que podemos organizar essa epressão para resolvermos com mais facilidade:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 2 n + 1 ( n + 1 ) 2 ⋅ n 2 - 2 n = lim n → ∞ ⁡ - 2 n - 2 1 ( n + 1 ) 2 ⋅ n 2 - 2 n = lim n → ∞ ⁡ - 2 1 ( n + 1 ) 2 ⋅ n 2

Agora, já podemos tirar o modulo:

lim n → ∞ ⁡ 2 ( n + 1 ) 2 ⋅ n 2 = 2 lim n → ∞ ⁡ n 2 ( n + 1 ) 2 = 2 lim n → ∞ ⁡ 1 ( 1 + 1 n ) 2 = 2 ⋅ 1 = 2

Passo 3

Como:

2 > 1

Então, a série ∑ n = 1 ∞ - 2 n n 2

é divergente pelo teste da razão.

Resposta

Divergente.

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