1. Neste exercício a gente vai começar escrevendo nossa função como uma série exponencial para depois verificar se ela atende a definição de série de Maclaurin.

Para construir essa série, podemos usar a série da exponencial

Então adequando para a equação do enunciado, teríamos:

E isso vale para .

Passo 2

Mas se nós olharmos para a definição da série de Maclaurin

Temos que a função foi definida no enunciado por

Agora vamos usando a definição de derivada, temos que

Temos uma indeterminação . Galerinha, já adianto que se aplicarmos L’Hospital aqui direto, ainda não vamos conseguir resolver esse limite. Então vamos manipular um pouco essa equação para achar esse limite

Agora temos uma indeterminação , aplicando L’Hospital

E se calcularmos as próximas derivadas teremos sempre o mesmo resultado, fazendo a série de Maclaurin ser igual a

Portanto o único caminho de encontrar a série é utilizando a série da exponencial, mas não conseguimos construir a série por ela mesma.

Passo 3

2. No gráfico

Analisando a parte , temos que , a nossa , apesar de não estar definida neste ponto. Contudo, o enunciado nos diz que a nossa , tornando a função continua.