Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 52

Nos Exercícios 41-52, utilize a Tabela 10.1 para encontrar a soma de cada uma das séries.

52. 1 + x 2 + x 2 3 + x 3 4 + x 4 5 +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 1

E aí, pessoal, tudo bem? Que ótimo, então vem comigo para mais uma questão!

Essa série não é tão intuitiva, não é mesmo? Mas, confia em mim que nós vamos conseguir. A primeira coisa que temos que fazer é multiplicar a série por x :

x 1 + x 2 + x 2 3 + x 3 4 + x 4 5 +   ⋅ ⋅ ⋅ = x + x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 +   ⋅ ⋅ ⋅

Isso parece muito com a série do logaritmo

l n ( 1 + x ) = x - x 2 2 + x 3 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n - 1 x n n +   ⋅ ⋅ ⋅ ,   - 1 < x ≤ 1

mas ainda não é bem isso.

Passo 2

Bom, vamos trocar x por - x na série do logaritmo para ver o que acontece:

l n ( 1 - x ) = - x - ( - x ) 2 2 + ( - x ) 3 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n - 1 ( - x ) n n +   ⋅ ⋅ ⋅

l n ( 1 - x ) = - x - x 2 2 - x 3 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   - x n n -   ⋅ ⋅ ⋅

- l n ( 1 - x ) = x + x 2 2 + x 3 3 +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n n +   ⋅ ⋅ ⋅

Estamos quase lá!

Passo 3

Agora vamos dividir o resultado do passo anterior por x :

- l n ( 1 - x ) x = 1 + x 2 + x 2 3 +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n - 1 n +   ⋅ ⋅ ⋅

Opa! Agora conseguimos a série do enunciado, finalmente! Então, podemos concluir que a soma desta série é - l n ( 1 - x ) x .

Gostou desta resolução? Responde Aí!

Resposta

- l n ( 1 - x ) x

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a série de Taylor de f ( x ) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potencias. Não mostre que R n x → 0 .] f x = 1 + x + x 2 , a = 2
Encontre a série de Maclaurin f ( x ) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n → 0 .] Também encontre o raio de converg
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência. 1 1 + x 4
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência. 1 + x
Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada. f x = e x + e 2 x