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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 70

Mostre que

a. c o s h i theta = c o s theta , b. s e n h i theta = i s e n theta

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo tranquilo? Então, vem comigo pra mais uma questão!

Para mostrar o que o enunciado está pedindo, vamos partir da definição do seno e cosseno hiperbólicos complexos e mostrar que a gente chega exatamente nas definições de seno e cosseno do exercício 68.

Por definição, nós temos

c o s h theta = (e^(theta) + e^(- theta))/(2)

e

s e n h theta = (e^(theta) - e^(- theta))/(2)

Passo 2

a.Para mostrar a primeira relação, vamos trocar theta por i theta na expressão do cosseno hiperbólico:

c o s h i theta = (e^(i theta) + e^(- i theta))/(2)

Mas essa é justamente a expressão para o cosseno que nós obtivemos no exercício 68. Então,

c o s h i theta = c o s theta

Passo 3

b. Agora, vamos trocar theta por i theta na expressão do seno hiperbólico:

s e n h i theta = (e^(i theta) - e^(- i theta))/(2) = i ((e^(i theta) - e^(- i theta))/(2 i))

A expressão entre parênteses corresponde ao seno que foi obtido no exercício 68. Assim,

s e n h i theta = i s e n theta

Curtiu essa questão? Então te aguardo na próxima!

Resposta

Veja a resolução acima.

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