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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 48

Nos Exercícios 41-52, utilize a Tabela 10.1 para encontrar a soma de cada uma das séries.

48. 1 - 3 2 x 2 2 ! + 3 4 x 4 4 ! - 3 6 x 6 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 1

Fala, pessoal! Ficou confuso em como resolver essa questão? Então, me acompanha aí!

Nós temos que identificar a série do enunciado. Para isso, temos que notar que os termos dessa série podem ser escritos como

( - 1 ) n 3 2 n x 2 n ( 2 n ) ! = ( - 1 ) n ( 3 x ) 2 n ( 2 n ) !

que parece com o termo geral da série do cosseno:

c o s x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - x 6 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Para verificar que realmente temos uma série de cosseno, vamos substituir x por 3 x na série do cosseno:

c o s 3 x = 1 - ( 3 x ) 2 2 ! + ( 3 x ) 4 4 ! - ( 3 x ) 6 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n ( 3 x ) 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ c o s 3 x = 1 - 3 2 x 2 2 ! + 3 4 x 4 4 ! - 3 6 x 6 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n 3 2 n x 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Ok, essa é justamente a série do enunciado. Então, para obter a soma da série, só precisamos calcular c o s 3 x , e essa é a nossa resposta final. Te vejo na próxima!

Resposta

c o s 3 x

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