Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 40
Encontre a série de Maclaurin de (por qualquer método) e seu raio de convergência. Trace e seus primeiros polinômios de Taylor na mesma tela. O que você observa sobre a relação entre esses polinômios e ?
Passo 1
Salve, turma! Tudo legal?
A questão quer que a gente encontre a série de Maclaurin de :
Aqui temos uma soma de duas funções, então vamos precisar achar duas séries de Maclaurin e somá-las.
Achar a série de Maclaurin de uma função é expressá-la como uma soma infinita de termos (série) calculados a partir de suas derivadas em um ponto, que aqui para as séries de Maclaurin é . A série de Maclaurin nada mais é que a série de Taylor com e é assim:
Olhando nosso formato de série vemos que o que falta encontrarmos é justamente que são as derivadas de no ponto zero vezes. Encontrando esse termo, n��s substituímos em e temos nossa série de Maclaurin pra função que o enunciado pede.
Acontece que geralmente precisamos ter esse trabalho todo com séries de Taylor centradas em outros valores de . Para , temos as séries de Maclaurin e já temos essas séries tabeladas e prontas na teoria do nosso livro, inclusive com seus raios de convergência.
Por fim a questão pede para traçarmos os polinômios de Taylor da série, que nada mais são que os próprios termos da série, que são do formato de polinômios de .
Traçamos esses polinômios e a nossa função e observamos o comportamento dessas curvas.
Vamos ao passo a passo!
Passo 2
Olhando na nossa teoria (Tabela 11 da sessão 11.10), sabemos que a série de Maclaurin para é:
E que a série de Maclaurin para é:
Então, se substituirmos por na série da exponencial:
Somando essa série com a do cosseno:
Juntando as séries, colocando em evidencia e :
E temos que a função é igual a essa série:
Quanto ao Raio de Convergência, já sabemos também da teoria, especificamente para a série de Maclaurin para o cosseno e para a exponencial, que é:
Passo 3
O enunciado pede para traçarmos e os primeiros polinômios de Taylor () que são nada mais que você pegar a série somente até um certo termo, então os primeiros polinômios são
E assim podemos continuar até onde quisermos.
Passo 4
Traçando e os primeiros polinômios de Taylor (podemos fazer isso plotando esses polinômios em softwares como GeoGebra):
Em vermelho nós temos nossa função:
Os polinômios estão indicados na imagem. Podemos ver que quanto maior o polinômio que pegamos (maior em ), mais a curva desse polinômio se aproxima da função na origem.