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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 31

Utilize séries para avaliar os limites nos Exercícios 29-40.

31.   l i m t → 0 1   -   c o s   t   -   ( t 2 / 2 ) t 4

Passo 1

E aí, galera! Bora lá resolver essa questão? Vem comigo!

A questão pede para encontrar uma expansão em série da função e, baseado nisso, calcular o limite pedido. Então, vamos começar com a série para o cosseno:

c o s t = 1 - t 2 2 ! + t 4 4 ! - t 6 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n t 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Agora, vamos calcular 1 - c o s   t - ( t 2 / 2 ) :

1 - c o s   t - ( t 2 / 2 ) = 1 -   ( t 2 / 2 ) - 1 - t 2 2 ! + t 4 4 ! - t 6 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n t 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ 1 - c o s   t - ( t 2 / 2 ) =   - t 4 4 ! + t 6 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   - ( - 1 ) n t 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅  

⇒ 1 - c o s   t - ( t 2 / 2 ) =   - t 4 4 ! + t 6 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n + 1 t 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Prontinho, só falta dividir tudo isso por t 4 :

1   -   c o s   t   -   ( t 2 / 2 ) t 4 =   - 1 4 ! + t 2 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n + 1 t 2 n   -   4 ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 3

Agora que nós temos a série, só resta calcular o limite. Então, vamos fazer isso!

l i m t → 0 1   -   c o s   t   -   ( t 2 / 2 ) t 4 = l i m t → 0 - 1 4 ! + t 2 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n + 1 t 2 n   -   4 ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

l i m t → 0 1   -   c o s   t   -   ( t 2 / 2 ) t 4 =   - 1 4 ! + l i m t → 0 t 2 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + l i m t → 0 ( - 1 ) n + 1 t 2 n   -   4 ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

l i m t → 0 1   -   c o s   t   -   ( t 2 / 2 ) t 4 =   - 1 4 ! =   - 1 24

O objetivo dessa questão era mostrar que alguns limites podem ser calculados de forma mais fácil usando séries de potências. E você, achou mais fácil? Responde Aí!

Resposta

l i m t → 0 1   -   c o s   t   -   ( t 2 / 2 ) t 4 =   - 1 24

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