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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 43

Nos Exercícios 41-48, utilize o Teorema 20 para encontrar o intervalo de convergência da série e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x.

∑ n = 0 ∞ x - 1 2 n 4 n

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Ou:

l i m n → ∞ x - 1 2 n + 2 4 n + 1 * 4 n x - 1 2 n < 1

Passo 2

Desenvolvendo matematicamente, chegamos em:

x - 1 2 4 lim n → ∞ ⁡ | 1 | < 1

Ou seja:

x - 1 2 < 4

Logo:

x - 1 < 2

O que resulta no intervalo:

- 2 < x - 1 < 2

Equivalente a:

- 1 ⁡ < x < 3

Passo 3

Logo, quando x = - 1 , temos:

∑ n = 0 ∞ - 2 2 n 4 n = ∑ n = 0 ∞ 1 → s é r i e   d i v e r g e n t e  

E quando x = 3 , temos:

∑ n = 0 ∞ 2 2 n 4 n = ∑ n = 0 ∞ 1 → s é r i e   d i v e r g e n t e  

Resposta

A série é geométrica convergente quando está no intervalo - 1 ⁡ < x < 3 e a soma é

1 1 - x - 1 2 2 = 4 3 + 2 x - x 2

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