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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 46

Nos Exercícios 41-48, utilize o Teorema 20 para encontrar o intervalo de convergência da série e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x .

46. ∑ n = 0 ∞ ln ⁡ x n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para este problema, vamos dá um remember para o seguinte teorema, ok, se ∑ n = 0 ∞ a n x n   converge de forma absoluta (MÓDULO) para x < R , então, ∑ n = 0 ∞ a n ( f ( x ) ) n converge para f ( x ) < R . Para este caso, vamos fazer o seguinte

  ∑ n = 0 ∞ ln ⁡ x n = ∑ n = 0 ∞ f x n

Nós sabemos que ∑ n = 0 ∞ x n é uma série geométrica que converge quando x < 1 . Com todas essas informações, então, de acordo com o teorema

f x = ln ⁡ x < 1

O que nos fornece o seguinte intervalo de convergência

- 1 < ln ⁡ x < 1

Utilizando-se da exponencial para jogar este l n fora, obtemos que

e - 1 < x < e

Passo 2

Já conseguimos o intervalo de convergência, agora, já podemos notar que   ∑ n = 0 ∞ ln ⁡ x n é uma série geométrica que termo inicial igual a 1 e taxa em comum ln ⁡ x , lembrando que, quando se tem uma soma de série geométrica com termo inicial a e razão comum r , nós podemos escrever essa série da seguinte forma:

S = a 1 - r

Portanto,

  ∑ n = 0 ∞ ln ⁡ x n = 1 1 - ln ⁡ x ∴

Questão resolvida 😊.

Resposta

  ∑ n = 0 ∞ ln ⁡ x n = 1 1 - ln ⁡ x   ( e - 1 < x < e )

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