Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.9 - Ex. 14

(a) Ache uma representação em série de potências para

Qual é o raio de convergência?

(b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para

(c) Use o item (a) para achar uma série de potências

Passo 1

E aí, galera! Tudo na paz?

A questão pede para acharmos uma representação em séries de potência para a função:

E achar o raio de convergência.

A gente pode representar funções como séries de potências, manipulando séries geométricas ou derivado ou integrando essas séries.

A série geométrica pode ser escrita assim:

Onde .

Ou seja, a série geométrica é uma forma da gente expressar a função:

Como uma série de potências.

Então, o que a gente precisa fazer aqui é manipular nossa função:

Até chegarmos em:

Aí é só aplicar a expansão da série geométrica.

Para as demais partes da questão, vamos usar o resultado que encontrarmos na parte a).

Vamos ver esse processo!

Passo 2

(a) Beleza, pessoal? Temos que escrever a seguinte função como série de potências:

Note que essa função é justamente o resultado da integral de:

Então:

Substituindo na nossa expansão da série geométrica:

Separando o termo negativo do termo :

Integrando ficamos com:

Reescrevendo, temos:

Então, temos:

Que é a forma de escrever nossa função como uma série de potências.

Passo 3

Como o raio de convergência da série geométrica é:

Nós temos no nosso caso:

O raio de convergência da série deve ser o mesmo da série que foi integrada, então , ok?

Passo 4

(b) Agora olha só, vamos aproveitar o item (a):

Como já achamos a série para lá nesse item, vamos só substituir:

Multiplicando nosso para dentro da soma onde já temos um termo , ficamos com:

Então:

Passo 5

(c) Galera, a função desse item é quase igual à função do item (a), a única diferença é que foi trocado por . Da mesma forma então, podemos usar a mesma série de potências obtida no item (a), apenas tendo o cuidado de trocar por , beleza?