(a) Use derivação para encontrar a representação em série de potências para

Qual é o raio de convergência?

(b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para

(c) Use item (b) para achar uma série de potências

(a) Para achar a representação da série de potência, vamos começar isolando a função

Vamos integrar essa função e achar uma primitiva, pra ver se podemos expressar ela como uma série de potências mais facilmente que a que nos foi dada:

Seja , então

Logo, temos essa primitiva, que vou chamar de :

Agora, se eu derivar essa função:

Então eu posso dizer que:

E representando como uma série de potência, lembrando que ela precisa ficar com uma carinha parecida com uma série geométrica:

Então,

Derivando,

Organizando,

Já o raio de convergência da série deve ser o mesmo da série que foi derivada (que ficou bem parecida com uma série geométrica de raio ), então , certo?

(b) Agora aqui a questão quer que a gente aproveite o que fizemos no item (a) para encontrar uma série de potências para essa outra função aqui:

Vamos derivar, fazendo basicamente os mesmos passo a passo:

Sabemos como é representado esse termo dentro do parênteses

Derivando, teremos

Ou melhor,

(c) Aqui a questão quer que a gente aproveite o item (b) para encontrar a série de potências pra essa nova série:

Vamos isolar o do numerador, pra ela ficar com a mesma cara do item (b) e depois fazer a magia:

Jogando o termo de fora do somatório para dentro, e como tem bases iguais, os expoentes se somam.

Organizando,