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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 48

Nos Exercícios 41-48, utilize o Teorema 20 para encontrar o intervalo de convergência da série e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x .

48. ∑ n = 0 ∞ x 2 - 1 2 n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O teorema 20 no diz basicamente o seguinte, se ∑ n = 0 ∞ a n x n   converge de forma absoluta (MÓDULO) para x < R , então, ∑ n = 0 ∞ a n ( f ( x ) ) n converge para f ( x ) < R . Ok, então, isso nos fornece que

  ∑ n = 0 ∞ x 2 - 1 2 n = ∑ n = 0 ∞ f x n

Nós sabemos que   ∑ n = 0 ∞ x 2 - 1 2 n é uma série geométrica que irá convergir quando x < 1 , com isso, podemos supor que

f x = x 2 - 1 2 < 1

Desenvolvendo os termos, obtemos que

x 2 - 1 < 2

Mais um pouco...

- 2 < x 2 - 1 < 2

Com isso, nós temos que

- 1 < x 2 < 3 → - 3 < x < 3

Passo 2

Notando que ∑ n = 0 ∞ x 2 - 1 2 n é uma série geométrica com termo inicial igual a 1 e razão comum x 2 - 1 2 , como uma série geométrica com termo inicial a e razão comum r é denotada por

S = a 1 - r

Nós temos que

  ∑ n = 0 ∞ x 2 - 1 2 n = 1 1 - x 2 - 1 2 = 2 2 - ( x 2 - 1 ) = 2 3 - x 2

Resposta

∑ n = 0 ∞ x 2 - 1 2 n = 2 3 - x 2

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