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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 47

Nos Exercícios 41-48, utilize o Teorema 20 para encontrar o intervalo de convergência da série e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x .

47.   ∑ n = 0 ∞ x 2 + 1 3 n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O teorema 20 no diz basicamente o seguinte, se ∑ n = 0 ∞ a n x n   converge de forma absoluta (MÓDULO) para x < R , então, ∑ n = 0 ∞ a n ( f ( x ) ) n converge para f ( x ) < R . Ok, então, isso nos fornece que

f x = x 2 + 1 3 < 1

Desenvolvendo um pouco mais esses termos, obtemos que

x 2 + 1 < 3 → x 2 + 1 < 3

Portanto,

x 2 < 2 → - 2 < x < 2

Passo 2

Notando que ∑ n = 0 ∞ x 2 + 1 3 n é uma série geométrica com termo inicial igual a 1 e razão comum x 2 + 1 3 , como uma série geométrica com termo inicial a e razão comum r é denotada por

S = a 1 - r

Nós temos que

  ∑ n = 0 ∞ x 2 + 1 3 n = 1 1 - x 2 + 1 3 = 3 3 - ( x 2 + 1 ) = 3 2 - x 2

Resposta

  ∑ n = 0 ∞ x 2 + 1 3 n = 3 2 - x 2

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