Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 55
a. Mostre que se duas séries de potências e são convergentes e iguais para todos os valores de em um intervalo aberto , então para todo . (Sugestão: seja . Derive termo a termo para mostrar que tanto quanto são iguais a .)
b. Mostre que se para todo em um intervalo aberto , então para todo .
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
A – Vamo lá, as duas séries de potência e são convergentes e iguais (ponto importante!) para todos os valores de em um intervalo aberto . Com isso, vamos considerar que
Bonitinho, agora, nós vamos diferenciar vezes sucessivamente os dois lados para obter a k-ésima derivada
Isto é verdadeiro para todo inteiro não negativo. Substituindo nos dois lados, temos que
Com isso, obtemos
O pensamento análogo segue para , com isso, nós vamos conseguir que
Portanto,
Passo 2
B – Dado que para todo no intervalo aberto , vamos diferenciar sucessivamente afim do obter a k-ésima derivada,
Então, da letra a), nós sabemos que
Portanto, nós temos que , para todo inteiro não negativo
Resposta
Respondido acima!