Nos Exercícios 51-54, verifique que w_{xy} = w_{yx} .

Passo 1

Nesta tarefa, somos essencialmente solicitados a verificar se o teorema das derivadas parciais mistas é válido para a função dada w (x , y) . O teorema afirma que, se ambas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contínuas, então as derivadas parciais mistas w_x y

e w_{y x} são os mesmos. O procedimento que usaremos aqui é direto, primeiro encontraremos w_{y x} e então encontraremos w_{x y} . Depois de encontrar ambas as expressões, vamos compará-las para verificar o resultado. Nesta tarefa, somos essencialmente solicitados a verificar se o teorema das derivadas parciais mistas é válido para a função dada w_x , y . O teorema afirma que, se ambas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contínuas, então as derivadas parciais mistas w_{x y} e w_{y x} são os mesmos. O procedimento que usaremos aqui é direto, primeiro encontraremos w_{y x} e então encontraremos w_{x y} . Depois de encontrar as duas expressões, vamos compará-las para verificar o resultado.

Passo 2

[[w ( x , y ) = x y^2 + x^2 y^3 + x^3 y^4],[(del w)/(del x) = y^2 + 2 x y^3 + 3 x^2 y^4],[(del^2 w)/(del y del x) = 2 y + 6 x y^2 + 12 x^2 y^3],[(del w)/(del y) = 2 x y + 3 x^2 y^2 + 4 x^3 y^3],[(del^2 w)/(del x del y) = 2 y + 6 x y^2 + 12 x^2 y^3]]

No entanto, agora podemos ver que as derivadas parciais mistas são as mesmas que verificam a afirmação.

Resposta

Ver o desenvolvimento

Exercícios de Livros Relacionados

Se z = f(x, y) tem derivadas parciais de 2^a ª ordem contínuas e satisfaz a equação\frac{∂^2 f}{∂ x^2} + \frac{∂^2 f}{∂ y^2} = 0 ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harm
Se z = f ( x , y ) tem derivadas parciais de 2 ª ª ordem contínuas e satisfaz a equação ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas.d) z
Encontrar:∂²f/∂x², ∂²f/∂y², ∂²f/∂x∂y, ∂³f/∂x²∂y, e ∂³f/∂z³ ² ² ² ³Das seguintes funções:c) f(x, y, z) = (1/x, 1/y^2, xyz)
Encontrar ∂²f→ / ∂x²(P₀) + ∂²f→ / ∂y²(P₀) - 4 * ∂²f→ / ∂z²(P₀) . Dados:f(x, y, z) = (x + y + z, (x + y + z)^2, (x + y + z)^3) e P_0(1, 0, 1)
Determinar ∂^3 f / ∂x ∂y ∂z e ∂^4 f / ∂x ∂z^2 ∂y sendo f(x, y, z) = (x * y^4, x * z^3 + 1, x * e^(yz)) .