Nos Exercícios 51-54, verifique que w_{xy} = w_{yx} .

Passo 1

Nesta tarefa, somos essencialmente solicitados a verificar se o teorema das derivadas parciais mistas é válido para a função dada w (x , y) . O teorema afirma que, se ambas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contínuas, então as derivadas parciais mistas w_x y

e w_{y x} são os mesmos. O procedimento que usaremos aqui é direto, primeiro encontraremos w_{y x} e então encontraremos w_{x y} . Depois de encontrar ambas as expressões, vamos compará-las para verificar o resultado. Nesta tarefa, somos essencialmente solicitados a verificar se o teorema das derivadas parciais mistas é válido para a função dada w_x , y . O teorema afirma que, se ambas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contínuas, então as derivadas parciais mistas w_{x y} e w_{y x} são os mesmos. O procedimento que usaremos aqui é direto, primeiro encontraremos w_{y x} e então encontraremos w_{x y} . Depois de encontrar as duas expressões, vamos compará-las para verificar o resultado.

Passo 2

[[w ( x , y ) = x y^2 + x^2 y^3 + x^3 y^4],[(del w)/(del x) = y^2 + 2 x y^3 + 3 x^2 y^4],[(del^2 w)/(del y del x) = 2 y + 6 x y^2 + 12 x^2 y^3],[(del w)/(del y) = 2 x y + 3 x^2 y^2 + 4 x^3 y^3],[(del^2 w)/(del x del y) = 2 y + 6 x y^2 + 12 x^2 y^3]]

No entanto, agora podemos ver que as derivadas parciais mistas são as mesmas que verificam a afirmação.

Resposta

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