Suponha f contínua em [ - r , r ]   ( r > 0 ) e considere a função

F x = ∫ 1 x f t d t

Prove que se f for uma função ímpar, então F será uma função par.

Passo 1

Primeiro precisamos lembrar oque é uma função ímpar e uma função par

Função ímpar (usando f ):

f ( x ) = - f ( - x )

Função par (usando F ):

F ( x ) = F ( - x )

Passo 2

O teorema fundamental do cálculo nos dá,

F ' ( x ) = ∫ 1 x f ( t ) d t = f ( x )

E também que,

F ' ( - x ) = - f ( - x )

Passo 3

Aplicando o teorema ao problema, para f sendo uma função ímpar,

f ( x ) = - f ( - x )

Pode ser reescrita como,

F ' ( x ) = F ' ( - x )

Note que coincide com a definição de função par.

Resposta

Pelo teorema fundamental do cálculo, conclui-se que se f for uma função ímpar, então F será uma função par.

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