Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 55
Existem pontos no hiperboloide nos quais o plano tangente é paralelo ao plano ?
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de plano tangente com derivadas parciais, vamos lá!
A questão nos dá uma função do tipo
E pergunta se existe algum ponto em que o plano tangente é paralelo a
Ou ainda
A condição para que dois planos sejam paralelos é: Seus vetores normais precisam ser múltiplos escalares um do outro!
Além disso, temos que para uma função do tipo em a equação do plano tangente pode ser dada por
Então vamos modelar uma equação “geral” do plano tangente para um ponto e verificar se existe uma constante escalar que torna a seguinte igualdade verdadeira
Onde é o vetor normal da nossa função e é o vetor normal do plano proposto
Passo 2
Para montar o nosso plano, precisamos começar encontrando as derivadas parciais dessa função!
Vamos definir a função como
De forma que
Sendo assim, o vetor gradiente será
E dessa forma, num ponto temos o seguinte vetor
Além disso, olhando para o plano vemos que seu vetor normal é
Passo 3
Para serem paralelos, temos que:
De forma que
Substituindo na equação do hiperbolóide, temos:
As únicas soluções pra essa equação seriam
Assim, não existe valor real para que satisfaça a equação acima, fazendo com que não existam tangentes a esse hiperboloide que sejam paralelos ao plano .
Resposta
Não existem planos paralelos ao plano .