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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.4 - Ex. 3

Determine uma equação do plano tangente a superfície no ponto especificado.

3-

z = 4 - x 2 - 2 y 2 ,   1 , - 1,1

Passo 1

A equação do plano tangente a uma superfície é dada por:

Δ z = z x 1 , - 1,1 Δ x + z y 1 , - 1,1 Δ y

Onde

Δ z = z - z 0 = z - 1

Δ x = x - x 0 = x - 1

Δ y = y - y 0 = y + 1

Passo 2

Encontrando a primeira derivada de z em relação a x nós teremos a seguinte regra da cadeia:

z x = 1 2 u × - 2 x

Onde u   é 4 - 2 x 2 - 2 y 2 e - 2 x é resultado da derivada de dentro pela regra da cadeia, logo:

z x = - x 4 - x 2 - 2 y 2

Logo:

z x 1 , - 1,1 = - 1 4 - 1 - 2 = - 1

Agora a derivada de z em relação a y nos dará:

z y = 1 2 4 - x 2 - 2 y 2 × - 4 y = - 2 y 4 - x 2 - 2 y 2

Então:

z y 1 , - 1,1 = - - 2 4 - 1 - 2 = 2

Passo 3

Substituindo os resultados na equação do plano tangente nós teremos:

z - 1 = - 1 x - 1 + 2 ( y + 1 )

z = - x + 1 + 2 y + 2 + 1

z = 2 y - x + 4

Resposta

z = 2 y - x + 4

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Dentre todos os pontos no gráfico de z = 10 – x2 – y2 que estãoacima do plano x + 2y + 3z = 0, encontre o ponto mais distanteno plano.
Encontre o ponto no gráfico de z = x2 + y2 + 10 mais próximodo plano x + 2y – z = 0.