Suponha f derivável em a ,b tal que f ' a ∙ f ' b0 e f a = f b . Prove que existem x 1 ,x 2 ∈] a ,b [ tais que, para todo x em ] a ,b [ , f x 1 ≤ f x ≤ f x 2 . Interprete geometricamente.

Enunciado

Quando se diz que , isso significa que essas duas derivadas têm o mesmo sinal. Então, primeiro vamos analisar o caso em que e .

Em , a função é estritamente crescente, mas ela não pode crescer pra sempre, se não jamais voltaria a atingir o seu valor quando chegasse em .

Sendo assim, existe um valor máximo para nesse intervalo, de modo que existe tal que .

E pelo mesmo motivo, a função não pode decrescer para sempre, por ter que retornar ao valor em .

Ou seja, também existe um valor mínimo para nesse intervalo, de modo que existe tal que

Logo, existem e tais que nesse intervalo.

Agora, de modo muito análogo, vamos analisar o caso em que e .

Em , a função é estritamente decrescente, mas ela não pode decrescer pra sempre, se não jamais voltaria a atingir o seu valor quando chegasse em .

Sendo assim, existe um valor mínimo para nesse intervalo, de modo que existe tal que .

E pelo mesmo motivo, a função não pode crescer para sempre, por ter que retornar ao valor em .

Ou seja, também existe um valor máximo para nesse intervalo, de modo que existe tal que

Logo, existem e tais que nesse intervalo.

Ei, a resposta está no passo a passo :)