Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 45
Suponha derivável em e tal que . Prove que existe em tal que para todo em ou para todo em . Interprete geometricamente.
Passo 1
Quando se diz que , isso significa que essas duas derivadas têm sinais diferentes. Então, primeiro vamos analisar o caso em que e .
Em , a função é estritamente crescente, mas ela não pode crescer pra sempre, pois em ela é decrescente.
E como ela é derivável, não pode crescer abruptamente para , para depois voltar a ser decrescente.
Logo, vão existir um ou mais pontos onde a função passará de crescente para decrescente, pois ela pode ir alternando entre crescente e decrescente. Esses pontos são chamados de máximos locais, pois são mais elevados do que sua vizinhança, é como se fosse o topo de uma montanha.
Assim, o maior entre os máximos locais será o máximo global, ou seja, existe que satisfaz no intervalo, para o caso em que e .
Passo 2
Agora, de modo muito análogo, vamos analisar o caso em que e .
Em , a função é estritamente decrescente, mas ela não pode decrescer pra sempre, pois em ela é crescente.
E como ela é derivável, não pode decrescer abruptamente para , para depois voltar a ser crescente.
Logo, vão existir um ou mais pontos onde a função passará de decrescente para crescente, pois ela pode ir alternando entre decrescente e crescente. Esses pontos são chamados de mínimos locais, pois são mais baixos do que sua vizinhança.
Assim, o menor entre os mínimos locais será o mínimo global, ou seja, existe que satisfaz no intervalo, para o caso em que e .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)