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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 52

  1. Expanda 1 / 1 + x 4 como uma série de potências.
  2. Utilize a parte (a) para estimar 1 / 1 , 1 4   com precisão de três casas decimais.

Passo 1

  1. Vamos reescrever como:

    2. 1 + x - 1 4

    Aí a série correspondente é:

    ∑ n = 0 ∞ - 1 4 n x n

    Desenvolvendo a série, temos...

    = 1 - 1 4 x + - 1 4 - 5 4 2 ! x 2 + - 1 4 - 5 4 - 9 4 3 ! x 3 + …

    Ou seja:

    1 - 1 4 x + ∑ n = 2 ∞ - 1 n 1 ∙ 5 ∙ 9 … 4 n - 3 4 n ∙ n ! x n

    É uma regra geral pra definir a série de potências.

    Passo 2

  2. Usando a fórmula encontrada ali em cima, vamos aplicar uns valores...

= 1 - 1 4 x + 5 32 x 2 - 15 128 x 3 + 195 2048 x 4 - …

A gente quer o valor dessa soma com x = 0,1 , (porque é 1 / 1,1 4 que a gente procura), com precisão de três casas decimais.

Olha só...

195 2048 0,1 4 ≅ 0,0000095

Isso não vai alterar a terceira casa decimal mais, então podemos somar só os 4 primeiros termos...

1 - 1 4 ( 0,1 ) + 5 32 0,1 2 - 15 128 0,1 3 ≅ 0,976

E... pronto!

Resposta

  1. 1 - 1 4 x + ∑ n = 2 ∞ - 1 n 1 ∙ 5 ∙ 9 … 4 n - 3 4 n ∙ n ! x n
  2. 0,976
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Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada. ∫ 0 0,2 tg - 1 ⁡ ( x 3 ) + sen ⁡ ( x 3 ) d x (cinco casas decimais)
Use multiplicação ou divisão de séries de potências para encontrar os três primeiros termos diferentes de zero na série de Maclaurin de cada função. y = x sen ⁡ x
Encontre a soma da série. 1 - ln ⁡ 2 + ln ⁡ 2 2 2 ! - ln ⁡ 2 3 3 ! + …
Mostre que a função definida por não é igual à sua série de Maclaurin.Trace a função na parte (a) e comente seu comportamento próximo a origem.
Demonstre a Desigualdade de Taylor para n = 2 , isto é, demonstre que, se f ' ' ' x ≤ M para x - a ≤ d , então R 2 x ≤ M 6 x - a 3 para x - a ≤ d