Sejam f e g definidas em R e suponha que existe M > 0 tal que f x - f p ≤ M g x - g p para todo x . Prove que se g for contínua em p , então f também será contínua em p .

Passo 1

Como g é contínua em p , por definição temos que para todo ϵ > 0 existe δ > 0 tal um x qualquer do domínio, a função é contínua em p se:

x - p < δ   ⇒ g x - g p < ϵ M

Então:

M g x - g p < ϵ

E como f x - f p ≤ M g x - g p , temos:

f x - f p ≤ M g x - g p < ϵ

Omitindo a parte do meio da inequação, temos que:

f x - f p < ϵ

Passo 2

Assim, quando temos x - p < δ temos também f x - f p < ϵ , portanto provamos que se g for contínua em p , então f também será contínua em p .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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