Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.4 - Ex. 12
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização da função no ponto.
Passo 1
Oie, vamos resolver mais uma questão? Vem comigo!
A gente tem a função:
E a gente precisa explicar porque no ponto dado:
Ela é diferenciável para e para . Depois disso, devemos linearizar a função nesse ponto.
Para linearizar uma função em um ponto dado, devemos utilizar a relação:
Em que é o ponto dado.
Em relação as derivadas parciais da função, elas serão diferenciáveis em se elas existirem em e forem continuas em .
Passo 2
Vamos fazer as funções diferenciais dessa função, para a gente deriva em relação a e considera constante:
Para encontrar a gente agora deriva em relação a e considera constante:
E a única restrição que vemos em e somente vemos uma única restrição em , pois o denominador dessas três funções não pode ser 0.
Logo nós teremos valores de e para sendo um ponto diferenciável.
Além das funções e serem contínuas em todos os valores.
Logo os valores de e serão:
Passo 3
Utilizando então a equação da linearização:
Para a gente :
O que não é diferente da linearização em duas dimensões só que adicionando mais uma diferencial no caso a de .
Logo, substituindo os valores teremos: