Exercícios de Diferenciabilidade - Lista de Exercícios Resolvida

A função

é diferenciável na origem?

Seja a função

1. Mostre que o ao longo de qualquer reta .
2. Analise a continuidade da função no ponto .
3. Analise a diferenciabilidade da função no ponto .

Considere as seguintes afirmações:

1. Se é continua no ponto então é diferenciável no ponto
2. Se é diferenciável no ponto então é continua no ponto
3. Se e existem no ponto então é diferenciável no ponto

Dada a função

(a) Mostre que o ao longo de qualquer reta .

(b) A função é contínua na origem? Justifique sua resposta.

(c) A função é diferenciável na origem? Justifique sua resposta.

Considere as seguintes afirmações?

1. Se é continua no ponto então é diferenciável no ponto
2. Se é diferenciável no ponto então é continua no ponto
3. Se e existem no ponto então é diferenciável no ponto

Seja uma função de classe qualquer, definida em todo o . Assinale todas as afirmações falsas.

Escolha uma ou mais:

c. Se para todo , então

Seja uma função de classe qualquer, definida em todo o . Assinale todas as afirmações falsas. Escolha uma ou mais:

b) Se (0,0) é um ponto crítico de tal que e , então satisfaz .

Seja uma função de classe qualquer, definida em todo o . Assinale todas as afirmações falsas. Escolha uma ou mais:

d) Se (1,2) é um mínimo local de então .

Seja uma função de classe qualquer, definida em todo o . Assinale todas as afirmações falsas.

Escolha uma ou mais:

c. Se para todo , então

Seja uma função de classe qualquer, definida em todo o . Assinale todas as afirmações falsas. Escolha uma ou mais:

d) Se (1,2) é um mínimo local de então .

Seja uma função de classe qualquer, definida em todo o . Assinale todas as afirmações falsas. Escolha uma ou mais:

a) Se , então para algum .

Seja uma função de classe qualquer, definida em todo o . Assinale todas as afirmações falsas. Escolha uma ou mais:

b) Se (0,0) é um ponto crítico de tal que e , então satisfaz .

6) Se e é diferenciável em , mostre que satisfaz a equação:

Mostre que no ponto a função

Não é contínua, não é diferenciável, porém tem derivadas parciais.

Mostre que no ponto a função

Não é contínua, não tem uma das derivadas parciais e não é diferenciável.

Diga se as afirmativas são verdadeiras ou falsas. Justifique se forem verdadeiras e dê um contraexemplo para as falsas.

Assuma que , , o domínio é aberto e .

1. Se é contínua em então é derivável em
2. Se é contínua em então possui as derivadas parciais em
3. Se possui todas as derivadas parciais em então é contínua em
4. Se possui todas as derivadas parciais em então é derivável em
5. Se é contínua e possui todas as derivadas parciais em então é derivável em
6. Se é derivável em então possui todas as derivadas parciais em
7. Se é derivável em então é contínua em
8. Se é derivável em então todas as suas derivadas parciais são contínuas em
9. Se possui todas as derivadas parciais contínuas em então é derivável em
10. Se não possui uma das derivadas parciais em então não é derivável em
11. possui todas as derivadas parciais continuas em se, e somente se, é derivável em

Seja

Considere as afirmativas:

1. é contínua em
2. é contínua em apenas
4. é diferenciável em

Marque a alternativa correta:

1. Apemas a afirmativa é verdadeira
2. Apenas as afirmativas e são verdadeiras
3. Todas as afirmativas são falsas
4. Apenas as afirmativas e são verdadeiras
5. Apenas a afirmativa é falsa

Seja

É correto afirmar que:

para todo

é contínua na origem

é diferenciável na origem

quando ao longo de qualquer reta que passa pela origem

tem derivadas parciais na origem

Seja uma função de duas variáveis.

b) Explique por que a função f (x, y) é diferenciável no ponto (1, 0).

Considere a função

1. As derivadas parciais de na origem existem?
2. A função é contínua na origem?
3. A função é diferenciável na origem?

Considere a função

1. é contínua em ? Justifique.
2. Calcule e .
3. Há plano tangente a em ? Justifique.

8. Verifique a diferenciabilidade das funções abaixo no ponto .

b)

Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em :

Dada a função

1. Calcule o , se este limite existir. Justifique sua resposta!
2. A função é continua na origem? Justifique sua resposta!
3. A função é diferenciável na origem? Justifique sua resposta!

1. Define a função onde f(x) é uma função definida por partes.

1. Determine onde é diferenciável.

1. Seja . Analise a diferenciabilidade de nos pontos e .

Considere a função

1. Determine o domínio de
2. Suponha que queiramos estender para todo o , ou seja, encontrar uma função que seja igual a dentro de (letra mas que fosse definida em todo o . Seria possível encontrar uma tal que fosse contínua? Justifique.
3. Seria possível encontrar uma que fosse diferenciável? Justifique.
4. Seria possível encontrar uma tal que admitisse funções derivadas parciais e contínuas? Justifique

Seja a função abaixo definida

1. Determine o conjunto dos pontos de continuidade de .
2. Determine a função gradiente de .
3. Determine o conjunto dos pontos onde é diferenciável.

Seja

c. é diferenciável em ?

Seja

1. é diferenciável em ?

Seja dada por

1. é diferenciável em ? justifique

Considere a função

Decida se é diferenciável em .

Seja uma função de classe e considere a sua Jacobiana no ponto . Suponha que e e que os vetores e sejam ortogonais entre si.

Mostre que admite uma inversa em uma vizinhança de .

Seja uma função de classe e considere a sua Jacobiana no ponto . Suponha que e e que os vetores e sejam ortogonais entre si.

Determine (em função de e a função afim que melhor aproxima para próximo de .

Suponha que a função diferenciável satisfaça para todo .

Determine .

Determine o conjunto de pontos de onde não é diferenciável, sendo

Determine o conjunto de pontos de onde não é diferenciável, sendo

Determine o conjunto de pontos de onde não é diferenciável, sendo

Considere

1. Mostre que é diferenciável em

Seja .

a) Verifique que é de classe em .

Considere a função:

Considere as alternativas:

2. A função é continua em todos os pontos do seu domínio.
3. A função é diferenciável em todos os pontos do seu domínio.

Julgue as alternativas como verdadeiro (V) ou falso (F), na ordem:

1. (I)V, (II)V, (III)V
2. (I)F, (II)F, (III)F
3. (I)V, (II)F, (III)V
4. (I)V, (II)V, (III)F
5. (I)V, (II)F, (III)F

Seja .

a) Verifique que é de classe em .

6. Mostre que a função é diferenciável na origem.

Seja

1. é contínua em ? E em ? Justifique.

2. Calcule, se existir, e .

Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em :

Considere a função

1. A função é contínua em Justifique sua resposta.
2. Calcule as derivadas parciais e
3. Determine e para .
4. é diferenciável em ? Justifique sua resposta.

Considere a função dada por

1. Calcule e
2. é diferenciável? Justifique.

Seja . Mostre que:

Verifique se a seguinte função é diferenciável em

Considere a função:

1. A função é contínua em ? Justifique!
2. Calcule as derivadas parciais e .
3. Determine as derivadas parciais e para .
4. é diferenciável na origem? Justifique a sua resposta!

Dada a função

1. A função é continua na origem? Justifique sua resposta.
2. A função é diferenciável na origem? Justifique sua resposta.

(2) Seja

d) é derivável em ?

Seja uma função diferenciável tal que , para todos e . Se , então

Escolha uma opção

vale

vale .

vale .

não pode ser determinado a partir dos dados fornecidos.

vale .

Seja uma função de classe qualquer, definida em todo o . Assinale todas as afirmações falsas. Escolha uma ou mais:

a) Se , então para algum .