Encontrar um valor aproximado para a seguinte expressão :

1,02 3,001

Passo 1

Para resolver esse tipo de questão precisamos achar a equação do plano tangente em um determinado ponto, de modo que esse plano seja tangente a uma função que se assemelha a nossa expressão acima

f x , y = x y

Seja

F x , y , z =   x e y - z

Cálculo do vetor gradiente

∂ F ∂ x = y x y - 1

∂ F ∂ y =   x y l n x

∂ F ∂ y = - 1

∇ F x , y , z = ( y x y - 1 , x y l n x , - 1 )

No ponto em que x = 1 e y = 3, temos que z = e 3 . Esses pontos são escolhidos de modo a me possibilitar calcular os valores das expressões acima

∇ F 1 , 3 , 1 = ( 3 , 0 , - 1 )

A equação do plano tangente nesse ponto será:

x - 1 , y - 3 , z - 1 ∙ 3,0 , - 1 = 3 x - 1 - z - 1 = 0

Passo 2

Agora que temos a equação do plano tangente lembramos que ele tem aproximadamente os mesmos valores que nossa função tem para valores próximos do ponto de tangencia

Substituindo x = 1,02 e y = 3,001 na nossa equação do plano temos

3 1,02 - 1 - z - 1 = 0 ⟹ z = 1 , 06

Resposta

1,06

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