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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 1a

Prove que a função dada é diferenciável:

f (x , y) = x y

Passo 1

Para provar que uma função é diferenciável num ponto (x , y) , basta mostrar duas coisas:

  1. As derivadas parciais (del f)/(del x) e (del f)/(del y) existem em (x , y) ; e

2) O limite underset((h , k) -> (0,0))(lim) [(E (k , h))/(sqrt(h^2 + k^2))] deve ser igual a zero, onde E (k , h) = f (x + h , y + k) - f (x , y) - h (del f)/(del x) (x , y) - k (del f)/(del y) (x , y) .

Assim, neste exercício devemos calcular (del f)/(del x) e (del f)/(del y) , e a seguir avaliar esse limite maluco ali.

Se por acaso o limite der zero, significará que a f é diferenciável em (x , y) .

Passo 2

Vamos primeiro obter as derivadas parciais da f :

(del f)/(del x) = (del)/(del x) [x y] = y

(del f)/(del y) = (del)/(del y) [x y] = x

Show, matamos a primeira condição!

Passo 3

Agora, em posse das derivadas, vamos avaliar a função maluca E (k , h) :

E (k , h) = f (x + h , y + k) - f (x , y) - h (del f)/(del x) (x , y) - k (del f)/(del y) (x , y)

Como vimos no passo anterior, (del f)/(del x) (x , y) = y e (del f)/(del y) (x , y) = x , então temos que

E (k , h) = underset((x + h) (y + k))(ubrace f (x + h , y + k)) - underset(x y)(ubrace f (x , y)) - underset(h y)(ubrace h (del f)/(del x) (x , y)) - underset(k x)(ubrace k (del f)/(del y) (x , y))

Agora vamos ajeitar isso dai!

E (k , h) = (x + h) (y + k) - ( x y + h y + k x )

E (k , h) = (x + h) (y + k) - (y (x + h) + k x)

Colocando ( x + h ) em envidência, temos

E (k , h) = (x + h) (y + k - y) - k x

Cortando esses y ' s aí ficamos com

E (k , h) = (x + h) k - k x

Fazendo essa distributivazinha ficamos com

E (k , h) = k x + k h - k x

Cancelando termos, obtemos simplesmente

E (k , h) = h k

Passo 4

Assim, o limite que devemos avaliar se torna:

underset((h , k) -> (0,0))(lim) [(E (k , h))/(sqrt(h^2 + k^2))] = underset((h , k) -> (0,0))(lim) [(h k)/(sqrt(h^2 + k^2))]

Para calcular o limite, vamos dividir numerador e denominador por h k , ficando com

underset((h , k) -> (0,0))(lim) [(1)/(sqrt(((1)/(k))^2 + ((1)/(h))^2))]

Agora sim! Note que, para (h , k) -> (0,0) , o denominador tende a infinito, ou seja

underset((h , k) -> (0,0))(l i m) [(1)/(oo)]

underset((h , k) -> (0,0))(lim) [(E (k , h))/(sqrt(h^2 + k^2))] = 0

Acabamos de provar ambas as condições que precisávamos! Logo, f (x , y) = x y é diferenciável para todo (x , y) !

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização L ( x , y ) da função no ponto. f x , y = x y , ( 6,3 )
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Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:a) f x , y = x 2 3 + y 2 3
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Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:d) z = ln ⁡ ( x y )