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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 1d

Prove que as funções dadas são diferenciáveis.

d) f ( x , y ) = (1)/(x y)

Passo 1

Primeiramente, vemos que f admite derivadas parciais em todo RR^2 . São elas

(del f)/(del x) ( x , y ) = (- 1)/(x^2 y) e (del f)/(del y) ( x , y ) = (- 1)/(x y^2)

Passo 2

Devemos agora avaliar uma pequena variação de f para o cálculo de sua derivada, se existir. Isso é feito por meio da equação seguinte, que deve ser igual a zero:

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) (f ( x + a , y + b ) - f ( x , y ) - (del f)/(del x) ( x , y ) * a - (del f)/(del y) ( x , y ) * b)/(| ( a , b ) |) = 0

Daqui em diante, trataremos o numerador por E ( a , b ) , de tal modo que:

E ( a , b ) = f ( x + a , y + b ) - f ( x , y ) - (del f)/(del x) ( x , y ) * a - (del f)/(del y) ( x , y ) * b

Para todo (x,y) em RR^2 , temos

E ( a , b ) = (1)/(( x + a ) ( y + b )) - (1)/(x y) + (a)/(x^2 y) + (b)/(x y^2)

<=> E ( a , b ) = (x y - ( x + a ) ( y + b ))/(x y ( x + a ) ( y + b )) + (a y)/(x^2 y^2) + (b x)/(x^2 y^2)

<=> E ( a , b ) = (x y - x y - x b - a y - a b)/(x y ( x + a ) ( y + b )) + (a y)/(x^2 y^2) + (b x)/(x^2 y^2)

<=> E ( a , b ) = (- x b - a y - a b)/(x y ( x + a ) ( y + b )) + (a y)/(x^2 y^2) + (b x)/(x^2 y^2)

<=> E ( a , b ) = - (x b)/(x y ( x + a ) ( y + b )) - (a y)/(x y ( x + a ) ( y + b )) - (- a b)/(x y ( x + a ) ( y + b )) + (a y)/(x^2 y^2) + (b x)/(x^2 y^2)

<=> E ( a , b ) = (a y)/(x y) ( (1)/(x y) - (1)/(( x + a ) ( y + b )) ) + (b x)/(x y) ( (1)/(x y) - (1)/(( x + a ) ( y + b )) ) - (a b)/(( x + a ) ( y + b ))

<=> E ( a , b ) = ( (a y)/(x y) + (b x)/(x y) ) ( (1)/(x y) - (1)/(( x + a ) ( y + b )) ) - (a b)/(( x + a ) ( y + b ))

Passo 3

Calcularemos agora o limite.

DICA: Aqui queremos encontrar algo parecido com

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) k * (a)/(| ( a , b ) |) , pois, underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) k * (a)/(sqrt(a^2 + b^2)) = 0

ou

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) k * (b)/(| ( a , b ) |) , pois, underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) k * (b)/(sqrt(a^2 + b^2)) = 0

Como a -> 0 e b -> 0 , temos que ( x + a ) ( y + b ) -> x y e a b -> 0 . Desse modo, o limite fica:

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) (E ( a , b ))/(| ( a , b ) |) =

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) (( (a y)/(x y) + (b x)/(x y) ) ( (1)/(x y) - (1)/(( x + a ) ( y + b )) ) - (a b)/(( x + a ) ( y + b )))/(| ( a , b ) |) =

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) (( (a y)/(x y) + (b x)/(x y) ) ( (1)/(x y) - (1)/(x y) ) - (0)/(x y))/(| ( a , b ) |) =

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) (( (a y)/(x y) + (b x)/(x y) ) ( 0 ))/(| ( a , b ) |) = 0

ps.: Como (a,b) apenas tende a zero, podemos dizer “que se aproxima bastante”, mas que de fato, não zera. Por isso, podemos “dividir”, e calcularmos naturalmente o limite.

Resposta

Portanto para qualquer variação de f, temos diferenciação, e, logo, f é diferenciável em todo ( x , y ) de RR^2 , ou seja, f é uma função diferenciável.

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1. Verifique que a função dada é diferenciável.d) f x , y = ln ⁡ 1 + x 2 + y 2
1. Verifique que a função dada é diferenciável.a) f x , y = e x - y 2
1. Verifique que a função dada é diferenciável.b) f x , y = x 4 + y 3
1. Verifique que a função dada é diferenciável.e) f x , y = x c o s x 2 + y 2
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização L ( x , y ) da função no ponto. f x , y = e x cos ⁡ x y ,( 0,0 )