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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 1e

Prove que as funções dadas são diferenciáveis.

e) f ( x , y ) = (1)/(x + y)

Passo 1

Primeiramente, vemos que f admite derivadas parciais em todo R^2 . São elas

(del f)/(del x) ( x , y ) = (- 1)/(( x + y )^2) e (del f)/(del y) ( x , y ) = (- 1)/(( x + y )^2)

Passo 2

Devemos agora avaliar uma pequena variação de f para o cálculo de sua derivada, se existir. Isso é feito por meio da equação seguinte, que deve ser igual a zero:

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) (f ( x + a , y + b ) - f ( x , y ) - (del f)/(del x) ( x , y ) * a - (del f)/(del y) ( x , y ) * b)/(| ( a , b ) |) = 0

Daqui em diante, trataremos o numerador por E ( a , b ) , de tal modo que:

E ( a , b ) = f ( x + a , y + b ) - f ( x , y ) - (del f)/(del x) ( x , y ) * a - (del f)/(del y) ( x , y ) * b

Para todo (x,y) em R^2 , temos

E ( a , b ) = (1)/(( x + a + y + b )) - (1)/(x + y) + (a)/((x + y)^2) + (b)/((x + y)^2)

<=> E ( a , b ) = (( x + y ) - ( x + a + y + b ))/(( x + y ) ( x + a + y + b )) + (a + b)/((x + y)^2)

<=> E ( a , b ) = (- a - b)/(x y ( x + a ) ( y + b )) + (a + b)/((x + y)^2)

Passo 3

Calcularemos agora o limite.

DICA: Aqui queremos encontrar algo parecido com

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) k * (a)/(| ( a , b ) |) , pois, underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) k * (a)/(sqrt(a^2 + b^2)) = 0

ou

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) k * (b)/(| ( a , b ) |) , pois, underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) k * (b)/(sqrt(a^2 + b^2)) = 0

Como a -> 0 e b -> 0 , temos que ( x + a ) ( y + b ) -> x y . Desse modo, o limite fica:

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) (E ( a , b ))/(| ( a , b ) |) =

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) ((- a - b)/(x y ( x + a ) ( y + b )) + (a + b)/((x + y)^2))/(| ( a , b ) |) = 0

ps.: Como (a,b) apenas tende a zero, podemos dizer “que se aproxima bastante”, mas que de fato, não zera. Por isso, podemos “dividir”, e calcularmos naturalmente o limite.

Resposta

Portanto para qualquer variação de f, temos diferenciação, e, logo, f é diferenciável em todo ( x , y ) de R^2 , ou seja, f é uma função diferenciável.

Ver Outros Exercícios desse livro

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Prove que as funções dadas são diferenciáveis.b) f ( x , y ) = x + y
Prove que as funções dadas são diferenciáveis.d) f ( x , y ) = (1)/(x y)
Prove que a função dada é diferenciável: f x , y = x y
1. Verifique que a função dada é diferenciável.c) f x , y = x 2 y