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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 1b

Prove que as funções dadas são diferenciáveis.

b) f ( x , y ) = x + y

Passo 1

Primeiramente, vemos que f tem derivadas parciais em todo RR^2 . São elas

(del f)/(del x) ( x , y ) = (del f)/(del y) ( x , y ) = 1

Passo 2

Devemos agora avaliar uma pequena variação de f para o cálculo de sua derivada, se existir. Isso é feito por meio da equação seguinte, que deve ser igual a zero:

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) (f ( x + a , y + b ) - f ( x , y ) - (del f)/(del x) ( x , y ) * a - (del f)/(del y) ( x , y ) * b)/(| ( a , b ) |) = 0

Daqui em diante, trataremos o numerador por E ( a , b ) , de tal modo que:

E ( a , b ) = f ( x + a , y + b ) - f ( x , y ) - (del f)/(del x) ( x , y ) * a - (del f)/(del y) ( x , y ) * b

Para todo (x,y) em RR^2 , temos

E ( a , b ) = ( x + a + y + b ) - ( x + y ) - ( a ) - ( b )

<=> E ( a , b ) = 0 , AA ( a , b ) in RR^2

Passo 3

Calcularemos agora o limite.

DICA: Aqui queremos encontrar algo parecido com

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) k * (a)/(| ( a , b ) |) , pois, underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) k * (a)/(sqrt(a^2 + b^2)) = 0

ou

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) k * (b)/(| ( a , b ) |) , pois, underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) k * (b)/(sqrt(a^2 + b^2)) = 0

Como, para todo ( a , b ) , E ( a , b ) resulta em 0, podemos afirmar que

underset(( a , b ) -> ( 0,0 ))(l i m) (E ( a , b ))/(| ( a , b ) |) = 0

PS.: Como ( a , b ) apenas tende a zero, podemos dizer “que se aproxima bastante”, mas que de fato, não zera. Por isso, podemos “dividir”, e calcularmos naturalmente o limite.

Resposta

Portanto para qualquer variação de f, temos diferenciação, e, logo, f é diferenciável em todo ( x , y ) de RR^2 , ou seja, f é uma função diferenciável.

Ver Outros Exercícios desse livro

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f é diferenciável em (0,0)? Justifique.a) f ( x , y ) = (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2) se ( x , y ) != ( 0,0 ) e f ( 0,0 ) = 0
f é diferenciável em (0,0)? Justifique.b) f ( x , y ) = (x^4)/(x^2 + y^2) se ( x , y ) != ( 0,0 ) e f ( 0,0 ) = 0
Prove que as funções dadas são diferenciáveis.f (x , y) = x^2 + y^2
f é diferenciável em (0 , 0) ? Justifique.f (x , y) = (x^2 y)/(x^2 + y^2) s e (x , y) != (0 , 0) e f (0 , 0) = 0
Prove que as funções dadas são diferenciáveis.c) f ( x , y ) = x^2 y^2