Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 27
Explique, usando os teoremas 4, 5, 7 e 9, porque a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos explicar por que a seguinte função é contínua em todo o seu domínio:
Mas o que é o domínio de uma função???
Bom... o domínio trata-se de um conjunto de todos os valores possíveis que você pode colocar na função (em ) e obter um resultado válido (em ).
Assim, vamos verificar quais são as condições de existência dessa função!!
Dessa forma, analisar a função de forma separada (primeiro o denominador e depois o numerador).
Bora lá!! 😉
Passo 2
Bom... é uma função racional, e percebemos que se fizermos , o denominador será zero.
E isso iria causar uma indeterminação na nossa função.
Lembre-se que pelo teorema 5 temos que “qualquer polinômio é contínuo em toda a parte; ou seja, é contínuo em ”
Aplicando no nosso problema, temos que uma vez que é raiz do denominador e não pode fazer parte do domínio da função.
Agora, pelo teorema 5, é contínua em todo seu domínio.
Assim, dizemos que o domínio da nossa função é:
Passo 3
Agora, analisando o numerador, temos que é contínua em todo seu domínio pelos teoremas 5.
Perceba que como trata-se de uma raiz cúbica, então não importa o sinal de .
O teorema 7 diz que uma função raiz é contínua para todo número em seu domínio.
Assim, essa parte também é contínua em todos o conjunto dos reais.
Passo 4
Agora vamos juntar as duas!!
O teorema 9 diz que se for contínua em e for contínua em , então a função composta é contínua em .
Mas o que isso quer dizer??
Quer dizer que se tratarmos as expressões dos passos 2 e 3 como uma função composta (no caso a nossa função ), poderemos “juntar” o que encontramos dos seus domínios!!
Como a expressão do passo é a única que tivemos uma restrição, então o domínio total de é: