Expresse a função na forma por partes, sem usar valores absolutos. [Sugestão: Pode ser útil gerar o gráfico da função.]

(a)

(b)

Como podemos fazer isso? Cara, a função módulo tem a característica de “ignorar” o sinal, certo? Se for positivo, continua sendo, mas se for negativo, passa a ser positivo. Tudo fica positivo! Ou seja, se for positivo, continua sendo , mas se for negativo, fazemos e calculamos o valor da função.

Para achar os comportamentos de uma função assim, nós substituímos o por (pegando os valores positivos do ) e por (pegando os valores negativos do ) e vamos achar uma função diferente para cada substituição do .

Obs.: quando trocamos o sinal do módulo, trocamos o sinal de tudo que está dentro do módulo!

Então, vamos usar o , primeiro:

Essa é a função para os valores maiores que .

Para os negativos, faremos :

Essa é a função para os valores menores que .

Agora, é só juntar essas duas informações! No fim do dia, temos que:

Prontinho!

(b) Então temos a função e queremos escrevê-la por partes. A ideia será a mesma da letra anterior, ok? Só vai mudar a função.

Vamos usar a sugestão do problema e olhar para a função, para entender melhor do que se trata:

Qual vai ser a grande diferença dessa função para a da letra anterior? Repare ali que temos 3 comportamentos diferentes: um até o , outro dali até e o último a partir daí. Por quê isso?

Porque agora temos dois módulos na função. Então, agora, vamos pegar valores quando e , quando e quando . Ou seja, quando os dois são negativos, um é positivo e o outro é negativo e quando os dois são positivos! Vamos lá!

Obs.: quando trocamos o sinal do módulo, trocamos o sinal dele todo! Repare que trocamos o por em algum momento!

Então, vamos usar o e , primeiro:

Essa é a função para os valores a partir do .

Agora, faremos :

Essa é a função para os entre e .

Para os menores que , faremos :

Essa é a função para os valores menores que .

Agora, é só juntar essas três informações! No fim do dia, temos que:

Prontinho!